輪換對(duì)稱不等式的證明技巧

【定義】

對(duì)稱不等式：把一個(gè)不等式里的兩個(gè)字母對(duì)調(diào)，所得的不等式和原來的不等式相同，則這個(gè)不等式，叫作對(duì)稱不等式。

輪換對(duì)稱不等式：如果一個(gè)不等式中的所有字母按某種次序輪換后，得到的不等式與原不等式相同，則稱這個(gè)不等式，叫作輪換對(duì)稱不等式。

輪換對(duì)稱不等式形式優(yōu)美，其證明方法也有很多，但是，其中的規(guī)律卻難以尋找。在教學(xué)過程中，學(xué)生對(duì)此常常有所困惑，在證明時(shí)因?yàn)閷?duì)輪換對(duì)稱不等式的概念及性質(zhì)認(rèn)識(shí)模糊等等原因，容易出現(xiàn)一些錯(cuò)誤。下面，結(jié)合本人的教學(xué)實(shí)踐，介紹幾種易操作的方法供讀者參考。希望大家能夠舉一反三，觸類旁通，較好地掌握這些輪換對(duì)稱不等式的證明技巧，提高自己的思維能力。

例1：已知a+b+c=1，且a、b、c均為非負(fù)實(shí)數(shù)。求證：++≤ 【次數(shù)配平法】

證明： ++≤?++≤

?（++）2≤3（a+b+c）

?（-）2+（-）2+（-）2≥0

例2：已知a、b、c均為正數(shù)。求證： （a+b+c）（++）≥9.【項(xiàng)數(shù)配平法】

證明： ∵ a、b、c∈R+，a+b+c≥3，a+b+c≥3>0

兩式相乘，得++≥3>0.

例3：已知a、b、c∈R+，求證：++≥. 【均分常數(shù)項(xiàng)】

證明：++≥等價(jià)于（-）+（-）+（-）≥0.

不妨設(shè)a≥b≥c>0，左邊=++≥=0

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.

例4：已知a、b、c都是正數(shù)，求證： ++≥.【均分獨(dú)立項(xiàng) 】

證明：++≥等價(jià)于（-）+（-）+（-）≥0.

由a、b、c的對(duì)稱性，不妨設(shè)a≥b≥c>0，則（-）+（-）+（-）=++≥=≥0.

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，等號(hào)成立。

例5：若x+y+z=a，且x，y，z∈R.求證：x2+y2+z2≥.【代數(shù)換元】

證明：設(shè)x=+α，y=+β，z=-（α+β），α、β∈R，則x2+y2+z2=（+α）2+（+β）2+[-（α+β）]2=+α2+β2+（α+β）2≥.

例6：已知a、b、c都是正數(shù)，且a2+b2=c2.求證：an+bn

證明： ∵ a、b、c都是正數(shù)及a2+b2=c2，設(shè)a=ccosα，b=csinα，（0<α<）， 則02），∴ an+bn=cn（sinnα+cosnα）

應(yīng)該說，以上介紹的幾種方法，各有特點(diǎn)，它們并不是相對(duì)獨(dú)立的，它們可以交替運(yùn)用。有時(shí)，一個(gè)對(duì)稱不等式可同時(shí)適用三種方法。在教學(xué)過程中，教師要引領(lǐng)學(xué)生多向思維，廣開思路，靈活地使用各種技巧，去尋找解題的方法。面對(duì)一些較為復(fù)雜的題目，要學(xué)會(huì)化簡(jiǎn)命題，找到突破口。嫻熟地運(yùn)用這些方法，可以提高學(xué)生的解題能力，鍛煉學(xué)生的思維。這樣，無論是對(duì)平時(shí)的解題還是考試，都會(huì)起到良好的促進(jìn)作用。