利用建模思想解決一次函數應用題問題

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“數學課程能使學生掌握必備的基礎知識和基本技能，培養學生的抽象思維和推理能力；培養學生的創新意識和實踐能力；促進學生在情感、態度與價值觀等方面的發展。義務教育的數學課程能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎。”根據《課標》編寫的蘇科版初中數學教材很好地體現了這一要求，近幾年各省市的中考數學試題也體現了這一要求。其中一次函數應用題，因其綜合了一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等內容，能實現數與形有機地結合，能體現分類討論、對應、極端值等數學思想與方法，并且容易與現實生活中的重大事件聯系起來以體現數學的應用價值，所以近年來一直是中考命題的重點和熱點。一次函數應用題試題的命題形式多樣，從近幾年的中考題來看，可以大致歸為以下三類：分段函數問題、兩種方案做比較、調配問題。

要想讓一次函數應用題得以解決，必須培養學生將實際問題轉化為一次函數的能力，即數學建模能力，能夠由一個問題解決一類問題，舉一反三，觸類旁通。教師可以選擇典型題目，開展專題講座，讓學生進行建模訓練，提高學生的建模水平。下面，筆者以2012年的中考題為例分別闡述。

一、分段函數問題

例1：（2012·廣州）：某城市居民用水實行階梯收費，每戶每月用水量如果未超過20噸，按每噸1.9元收費。如果超過20噸，未超過的部分按每噸1.9元收費，超過的部分按每噸2.8元收費。設某戶每月用水量為x噸，應收水費為y元。①分別寫出每月用水量未超過20噸和超過20噸，y與x間的函數關系式。②若該城市某戶5月份水費平均為每噸2.2元，求該戶5月份用水多少噸？

這是一次函數應用題的基本類型，函數關系式應根據自變量的取值范圍分兩種情況來分析、討論。未超過20噸時，水費y=1.9×相應噸數；超過20噸時，水費y=1.9×20+超過20噸的噸數×2.8；該戶的水費超過了20噸，關系式為：1.9×20+超過20噸的噸數×2.8=用水噸數×2.2.

解：①當x≤20時，y與x的函數表達式是y=1.9x；當x>20時，y與x的函數表達式是y=1.9×20+（x-20）×2.8=2.8x-18；②5月份水費平均為每噸2.2元，用水量如果未超過20噸，按每噸1.9元收費；用水量超過了20噸，則2.8x-18=2.2x，解得x=30.答：該戶5月份用水30噸。

解分段價格問題建模策略：①分段函數的特征是：不同的自變量區間所對應的函數式不同，其函數圖像是一個折線。解決分段函數問題，關鍵是要與所在的區間相對應。②分段函數中“折點”既是兩段函數的分界點，同時又分別在兩段函數上。求解析式要用好“折點”坐標，同時在分析圖像時還要注意“折點”表示的實際意義，“折點”的縱坐標通常是不同區間的最值。

二、兩種方案做比較

例2：（2012·連云港）我市某醫藥公司要把藥品運往外地，現有兩種運輸方式可供選擇。方式一：使用快遞公司的郵車運輸，裝卸收費400元，另外每公里再加收4元；方式二：使用鐵路運輸公司的火車運輸，裝卸收費820元，另外每公里再加收2元。①請分別寫出郵車、火車運輸的總費用y1（元）、y2（元）與運輸路程x（公里）之間的函數關系式。②你認為選用哪種運輸方式較好？為什么？

分析：①根據方式一、二的收費標準即可得出y1（元）、y2（元）與運輸路程x（公里）之間的函數關系式。②比較兩種方式的收費多少與x的變化之間的關系，從而根據x的不同選擇合適的運輸方式。

解：①由題意得：y1=4x+400；y2=2x+820；②令4x+400=2x+820，

解得x=2l0。所以，當運輸路程小于210千米時y1< y2，選擇郵車運輸較好；當運輸路程小于210千米時，y1=y2，兩種方式一樣；當運輸路程大于210千米時，y1>y2，選擇火車運輸較好。

三、調配問題

例3：（2012·德州）現從A、B向甲、乙兩地運送蔬菜，A、B兩個蔬菜市場各有蔬菜14噸，其中甲地需要蔬菜15噸，乙地需要蔬菜13噸，從A到甲地運費50元/噸，到乙地30元/噸；從B地到甲運費60元/噸，到乙地45元/噸。

①設A地到甲地運送蔬菜x噸，請完成下面數據（單位：噸）：

運往甲地 運往乙地

A x ——

B —— ——

②怎樣調運蔬菜才能使運費最少？

分析：①根據題意，A、B兩個蔬菜市場各有蔬菜14噸，其中甲地需要蔬菜15噸，乙地需要蔬菜13噸，可得解。②根據從A到甲地運費50元/噸，到乙地30元/噸；從B地到甲運費60元/噸，到乙地45元/噸，可列出總費用，從而可得出答案。③首先求出x的取值范圍，再利用與x之間的函數關系式，求出函數最值即可。

解：①如下所示（單位：噸）：

運往甲地 運往乙地

A x 14-x

B 5-x x-1

W=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）。整理得：W=5x+1275.②∵A、B到兩地運送的蔬菜為非負數，∴解不等式組，得：1≤x≤14，在W=5x+1275中，W隨x增大而增大，∴當x最小為l時，W有最小值1280元。

求解物資調運問題的建模策略：①用表格設置未知數，同時在表格中標記相關數量；②根據表格中量的關系寫函數式；③依題意正確確定自變量的取值范圍（一般通過不等式、不等式組確定）；④根據函數式及自變量的取值范圍，結合一次函數的性質，按題設要求確定調運方案。

以上所舉三例材料內容都與我們的生活密切相關，很好地體現了“生活數學”的思想。學習數學是為了解決現實生活中的一些實際問題，而不是為了數學而學習數學。解決數學問題是為了訓練學生的思維能力，尤其是創新能力。《課標》指出：“作為促進學生全面發展教育的重要組成部分，數學教育既要使學生掌握現代生活和學習中所需要的數學知識與技能，更要發揮數學在培養人的思維能力和創新能力方面的不可替代的作用。”另外，通過數學基礎知識的學習，要讓學生掌握數學思想和方法，這是更高層次的數學學習。正如《課標》所說：“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規律。它不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法。”而數學建模思想滲透于教材中，體現于試題中。“數學建模”思想能透過豐富的感性材料揭示問題的本質，增強學生應用數學的意識，激活他們的創造性思維。