也談“兩點之間線段最短”的建模應用

在中學階段開設數學課程，一方面是為了讓學生掌握一定的數學基礎知識和基本技能，另一方面是為了培養學生的思維能力、創新能力，讓學生理解和運用數學思想和方法。兩者相比較，后者更為重要。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“在呈現作為知識與技能的數學結果的同時，重視學生已有的經驗，使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程。”根據《課標》編寫的蘇科版初中數學教材，穿插設計了一些“數學探究”“數學建模”活動，強調數學學習的實踐性和科學性。我們要切實搞好這些活動，提高學生“生活數學”的意識。我們很多人都知道，在數學上有一個著名的“將軍飲馬問題”：古希臘有一位聰明的學者，一位將軍向他請教一個問題：如圖1，從A地出發到河邊飲馬，然后再回到B地，怎么走路線最短？如何確定飲馬的地點？答案只有一個：兩點之間，線段最短。但是，在這個問題中，馬走的是一條折線，這又該怎么辦呢？

分析：在河邊飲馬的地點有許多處，把這些地點與A、B連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A地到飲馬地點，再回到B地的路程之和。現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的那個點來。

在圖上過B點作河邊MN的垂線，垂足為C，延長BC到B'，B'是B地關于河邊MN的對稱點；連結AB'，交河邊MN于P，那么P點就是題目所求的飲馬地點。為什么飲馬的地點選擇在P點能使路程最短呢？因為BP==B'P，AP與BP的長度之和就是AP與PB'的長度之和，即是AB'的長度；而選擇河邊的任何其他點，如D，路程AD+DB=AD+DB'，由于A、B'兩點的連線中，線段AB'（兩點之間，線段最短）是最短的，所以選擇P點時路程要短于選擇D點時的路程。

將軍飲馬問題反映數學中的對稱性問題，由此我們可抽象出數學模型：定直線L兩旁有兩個定點AB，在直線L上存在動點P，若要使得PA+PB的值最小，可作定點A關于直線L的對稱點A'，連接AB'，則AB'與直線L的交點即為P，且PA+PB的最小值為AB'。上述模型可以解決下列問題。

一、在幾何圖形中建模

例1：如圖2，等腰直角三角形ABC的直角邊長為2，E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE的最小值是多少？

解析：尋找模型：此題中定點分別為B、E，動點P在定直線AC上。所以作點B關于AC的對稱點B'，連接B'E交AC于P，此時PB+PE的值最小連接A B'。由題意可得AB=A B'=2■，AE=■，∵∠B'AC=∠BAC=45°，∴∠B'AC =90°，∴PB+PER的最小值= B'E=■=■。

二、幾何圖形延伸中建模

當題中的定點數目變為1個時，飲馬問題的模型同樣適用。

例2：如圖3，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一點M、N使BM+MN的值最小，求這個最小值。

解析：尋找模型：此題中只有一個定點B，一動點M在定直線AC上，所以可作B關于AC的對稱點B'，過B'作B'N⊥AB于N，交AC于M。因為點到直線的距離中，垂線段最B+lZuEdQXXiM4S8Arqdi8cQmZopFP/0S0d7QVcCLV1k=短，所以此時BM+MN的值最小。∵∠BAC=30°。∴∠B'AB=60°。 ∵點B'與點B關于AC對稱，∴AB'=AB，∴△B'AB是等邊三角形，∴B'B=AB=2，∠B'BN=60°。又∵B'N⊥AB，∴B'N=■，即BM+MN的最小值為■。

三、在代數中建模

例3：求代數式■+■ （0≤x≤4）的最

小值。

解析：將求代數式■+■（0≤x≤4）的最小值轉化為軸對稱——最短路線問題。構造圖形如圖4所示。其中：AB=4，AC=1，DB=2，AC=x，CA ⊥AB于A，DB⊥AB于B。那么PC+PD=■+■，所求■+■的最小值就是求PC+PD的最小值。作點C關于AB的對稱點C'，過C'作C'E垂直DB的延長線于E。則C'E=AB=4，DE=2+1=3，CD'= C'E2 + DE2=■=5，所求■+■的最小值是5。

以上各題都可以嘗試一題多解，力求達到舉一反三、觸類旁通的目的。

另外，利用“兩點之間線段最短”還可以在求最小周長中建模。通過以上各種建模活動，能夠很好地培養學生探究問題能力，提高他們學習數學的興趣，達到《課標》提出的“引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能，體會和運用數學思想與方法，獲得基本的數學活動經驗”的要求。

總之，飲馬問題的關鍵是“兩點之間線段最短”，這個道理是初一學生都能掌握的。但它可以深化與拓展，當它與其他相關知識結合時，就有許多巧妙的應用。在建模過程中我們要掌握其本質——“兩點之間線段最短”，抓住這個基本點建模。挖掘這些知識點之間的聯系，許多問題便可以迎刃而解。通過這些知識點之間的聯系，能夠培養學生多方面的能力。由此可見，數學“在培養人的思維能力和創新能力方面”確實具有“不可替代的作用”，“義務教育的數學課程能為學生未來生活、工作和學習奠定重要的基礎”。