和差倍數關系的教與學

和差倍數關系是小學應用題中最基本、最常見的數量關系。其常見的文字敘述方式主要有兩種：

和差關系：a比b多（少）c。

倍數關系：a是b的c倍。

從形式上看，這兩種類型比較簡單，但由于已知量和未知量的不同變化，文字表達方式的變化，它們的解法各異，學生容易混淆。學生從生活經驗出發，知道“多”了要加，“少”了要減，“倍數”要乘，尤其低年級學生更是如此。學生的這些生活經驗是分析解答這類問題的基礎，但受認知水平的限制，往往被表面文字所迷惑，不辨是非，濫用一氣，從而形成了各種各樣的解答錯誤。

如何解決這一難題呢？培養和形成正確的分析思路，掌握分析問題的方法是解決這一難題的有效途徑。

一、正確判斷相比較的兩個量

應用題是豐富多變的，題目中的數量也是比較多的，到底哪兩個數量之間存在著和差倍數關系呢？首先，要認真審題，弄清題目中講了一件什么事，有哪幾個量；其次，找出題目中表示相互關系的語句；然后，聯系上下文分析，準確地判斷出相比較的兩個量各是什么，排除其他數量的干擾，理清數量。

二、正確判斷兩個量的“多”與“少”，合理選擇計算方法

對數量多少的概念，學生有豐富的生活感受，通過舉一些生活實例，如“蘋果的數量比梨多3個”“蘋果的數量是梨的3倍”等，讓學生在對這些實例的分析中，歸納總結出“多”與“少”的變化規律：a比b多（少）c，誰在“比”的前面誰就多（少），另一個量就少（多）；a是b的c倍，誰在“是”的前面誰就多（少），另一個量就少（多）。在正確判斷兩個量“多少”的基礎上，進行一些簡明地求a或b的練習，豐富直接經驗。在必要的感性積累的前提下，引導學生歸納出“和差倍數關系”的解題方法：

和差關系：知“多”求“少”用減法，知“少”求“多”用加法；

倍數關系：知“多”求“少”用除法，知“少”求“多”用乘法。

三、充分進行基礎訓練，初步形成能力

從實踐中來，到實踐中去。學生初步理解了基本的規律和方法后，還要經過反復的訓練，自覺加以應用，才能形成能力。

練習時，要注重對計算結果的檢驗。在求出了“a”或“b”后，要和已知的“b”或“a”進行比較，看是否符合題目中“a比b多（少）c”、“a是b的c倍”的關系。通過檢驗，一方面可以使學生發現錯誤并及時改正，深化對基本規律和方法的理解，也培養了檢驗的學習習慣；另一方面也讓學生體會到了成功的感覺，增強了學好這部分內容的信心。

重視對比，有比較才能有鑒別。要通過比較，讓學生區分異同，認清表面現象，正確運用規律。

和差關系常見的文字表達方式有：

（1）已知a，a比b多c，求b。

（2）已知b，a比b多c，求a

（3）已知a，a比b少c，求b。

（4）已知b，a比b少c，求a。

倍數關系常見的文字表達方式有：

（5）已知a，a是b的c倍，求b。

（6）已知b，a是b的c倍，求a。

在練習的過程中，要求學生按照“判斷—選擇—計算”的步驟進行分析解答。在解答時，讓學生比較各個試題的異同，使學生認識到：盡管已知條件不同，文字表達方式不同，但是，兩個量“多”與“少”的關系沒有變，“和差倍數關系”的基本規律沒有變，起決定作用的因素是已知量和未知量的“多”與“少”的關系，而不是“多”字、“少”字、“倍”字。在這一過程中，教師要引導學生認識到對“多”“少”“倍”的錯誤理解，糾正其發生錯誤的根源。

充分尊重和發揮學生的主體作用，促進學生的成長。學生是學習的主人。在練習的過程中，教師要引導和鼓勵學生充分地發表自己的意見，大膽質疑，暢所欲言，在相互爭論和交流中完成審題、分析、計算、檢驗的各個環節，獲得完整的解決問題的過程體驗。這既是知識的學習過程，也是方法的學習與應用的過程。

四、重視綜合訓練，提升能力水平

在掌握了和差倍數關系的規律和基本解題方法后，把兩種類型合并起來進行綜合訓練，就成了水到渠成的必然步驟。例如，“蘋果有30個，梨的數量比蘋果多6個，桔子的數量是梨的3倍，桔子有多少個？”在這道題目中，既有和差關系，又有倍數關系，這就要求學生認真分析，確定先算什么，后算什么，綜合應用所學的知識解決問題。通過這樣的練習，不僅可以使學生認識到和差的“多”和“少”與倍數的“多”和“少”是不同的，還鍛煉了學生應用知識解決問題的能力，一舉多得，何樂而不為呢？

小學生的思維正從感性認識向理性認識過渡，必須要經過必要而充分的練習，他們才能真正理解規律和方法，并自覺地加以應用。

“和差倍數關系”是連接四則運算和應用題的紐帶。它既是四則運算的延伸，也是分析解答一般應用題的基礎。經過這樣的教與學，學生既學會了分析解答這一類型的應用題目，也自然掌握了一種分析問題、解決問題的方法。

（作者單位 甘肅省嘉峪關市迎賓路小學）