中學數學仍應使用蘊含符號

中學引入了命題邏輯的部分內容，其中蘊含命題采取了“如果P，那么q”的表達形式，其實用蘊含符號后，可表為P→q，顯得很簡單，中學一度使用過這個符號，因在教學中遇到一些問題，又取消了這個符號。

一、“→”與“ ”用于不同場合，但又可相互轉化

平時推理中，經常使用“推出”符號，形式化后可表示為P q，而數理邏輯中有P→q，這兩者是什么關系？數理邏輯中，研究邏輯時又要用到邏輯，這就有了兩種邏輯。一個是作為研究對象的邏輯，稱為對象邏輯，用對象語言表示，一個是研究對象語言時所用的邏輯，稱為元邏輯，用元語言表示。用元語言和對象語言區分這兩種邏輯。P→q屬于對象語言，P q屬于元語言，前者是研究的對象，后者是研究的手段，兩者是不同的。在對象語言中，突出考慮在P、q的各種賦值下，P→q的真假值情況，因此P→q的真值可真可假。但在元語言中，我們要求推理有效，故要求P q取真值。即我們寫出P q時，總是默認P q取值為真的，而且不予專門指出。但寫出P→q時，總是認為其真假值依賴于具體賦值待定的，具體取值為何要專門指出。由于這兩者使用上的不同特點，將它們區分成元語言和對象語言就很有必要，否則會引起混亂。例如，只用P→q，在元語言其值為真，而在對象語言中其值待定，究竟P→q的值為真（按元語言理解）還是待定（按對象語言理解），就不能確定了。歷史上，羅素和懷德海合著的《數學原理》，未能將兩者區分，一度使讀者引起混亂，后來德國數學家希爾伯特區分了這兩種語言，避免了混亂。

但“→”與“ ”兩者又有密切關系，并可相互轉化。例如，P q是元語言中的符號，其真值默認為真。但由于研究時疏忽或出錯，P q也可能為假，當我們審視P q的真假時，其實就是將P q對象化了（即研究P q何時真何時假），此時P q的真假與P→q是相同的。當我們要求P→q=T時，即將P→q元語言化，P→q與P q意義相同。因此，在某些元語言中，也用“→”代替“ ”表示推出。另外，“p是q的充分條件”，“q是p的必要條件”，都是元語言中的命題，和“P q”一樣，也與元語言化后的P→q（即要求P→q=T）相同，都表示有效推理。反過來，研究它們的真假，把它們對象化，則它們都與P→q等價，一真皆真，一假皆假。由于“→”與“ ”兩者使用場合可以相互轉化，因此，分清“→”與“ ”是用于元語言（即要求取真值）還是用于對象語言（即考查其真假），對于準確地理解兩者的含義和作用就是十分重要的。

二、P=F時，規定P→q=T，似乎不合理

這一規定使得假前提的任意推理都“有效”，從而顯得難以理解。一般認為P=F時，P→q應該沒有意義，但這樣一來，命題的取值除了T、F之外，又要有第3種情況（即“無意義”）了，這確實也可以考慮，并且在此基礎上發展出了“三值”甚至多值邏輯。但如果在二值邏輯中考慮，P=F時規定P→q=T是不得不接受的（否則此時就只能規定P→q=F，這就更不合理了。例如a R（a>5 a>3）是一個真命題，但當a=2時，由于a>5=F，按現在的規定a>5 a>3就成假命題了，而直觀上很明顯，不管a為何值，a>5 a>3都應是真命題）。數學上要求真的前提必導致真的結論，我們的規定與此要求并不矛盾，即與數學上有效推理的要求是協調的。雖然在我們這里的有效推理包含了假前提的情況，但在前提為假的情形，相應的結論在數學上被認為是無意義的，數學上有意義的結論不受影響。可見，允許假前提的推理“有效”（即P=F時，規定P→q=T），對數學的有效推理無害，至多只是多了一些在數學上無意義的“無效”部分。這雖然不夠完美，權當作是對二值邏輯的一個讓步，但退此一小步，卻獲得了二值邏輯的大踏步發展，形成了所謂的古典邏輯。

三、P→q表達“無意義”命題問題

P→q抽象于陳述因果關系的命題，從真值的側面研究條件和結論的關系，但抽象后P→q表達的內容更加廣闊，既可表達因果關系，又可表達任兩個命題（不一定有因果關系）的關系，從而形成不具有因果聯系的“無意義”命題。例如，“若太陽從東方升起，則3+1=4”就是這樣的命題。其條件和結論并無因果聯系，應為無意義命題，但卻是真命題。其實，所謂的無意義命題，只是不具備普通的因果關系，但具有真值之間的聯系，因而仍然有意義。而在中數中一般總是表達因果關系，并用元語言符號P q表示。當我們習慣于中數的命題，就會覺得非因果關系的命題無意義。其實，對象語言中的P→q是抽掉了命題的具體內容，舍棄其具體含義，只研究其真值，因而具有“T→T”，“F→T”等形式。而這種形式能概括因果關系，也能概括非因果關系。從這里又可看出P q和P→q的一個區別，用于元語言的P q一般表示因果關系，而用于對象語言的P→q一般表示任意兩個命題真值間的聯系。

經過上述分析，中學命題邏輯中，“如果P，那么q”這種命題仍應符號化為P→q，但須分清對象語言和元語言，注意與P q的區別。P q用于元語言，默認取真值，著重考慮真的前提保證真的結論，一般表達因果關系。而P→q用于對象語言，其真值待定，可表達非因果關系，反映真值間的聯系。但兩者之用于元語言還是對象語言，不是一成不變的，隨著場合的不同兩者又可相互轉化。P q對象化后即為P→q，而P→q元語言化后即為P q。

最后需要說明的是，我們這里所說的元語言和對象語言借用了數理邏輯中證明論的術語，但與證明論中對象語言的高度形式化，及其探求數學基礎的可靠性，是不一樣的。我們這里只是用來說明P q和P→q用于不同的場合有不同的特點和要求，這是需要注意的。

（作者單位 江蘇省建湖縣高級技工學校）

編輯 謝尾合