例談相遇問(wèn)題模型的構(gòu)建

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)，要“從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓他們親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)理解的同時(shí)，在思維能力、情感態(tài)度與價(jià)值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。”

何謂數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)模型是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的某一事物系統(tǒng)，為了一個(gè)特定的目的，根據(jù)事物系統(tǒng)特有的內(nèi)在規(guī)律，采用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言或符號(hào)，概括地或近似地表達(dá)出來(lái)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，數(shù)學(xué)模型就是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)表達(dá)。一切數(shù)學(xué)概念、公式和算法系統(tǒng)、數(shù)學(xué)理論體系等都可以稱(chēng)為數(shù)學(xué)模型。如，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，規(guī)則、定律、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系、方程、字母式子、圖形、圖表等都是數(shù)學(xué)模型的具體體現(xiàn)。

數(shù)學(xué)模型的建立，是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，是溝通數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)抽象概念之間的紐帶，更是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題最有效的方法。

那么，如何幫助學(xué)生形成模型思想？下面我就以相遇問(wèn)題中模型的建立為例，談?wù)勛约旱淖龇ā?/p>

相遇問(wèn)題由于涉及兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體，屬于較復(fù)雜的行程應(yīng)用題。學(xué)生之前雖然已經(jīng)學(xué)習(xí)了簡(jiǎn)單的行程問(wèn)題，對(duì)行程應(yīng)用題中常用的三個(gè)等量關(guān)系式也已理解、掌握，但學(xué)習(xí)相遇問(wèn)題仍有一定的難度。

一、創(chuàng)設(shè)情境，感知模型

例.星期天，小紅和小蘭相約去公園玩，她們同時(shí)從甲、乙兩地出發(fā)，相向而行，小紅每分鐘走50米，小蘭每分鐘走55米，3分鐘后兩人相遇，甲、乙兩地相距多少米？

數(shù)學(xué)源于生活，從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，在教學(xué)時(shí)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟悉的生活情景，縮短“學(xué)生起點(diǎn)”與“數(shù)學(xué)模型”之間的距離，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的廣泛應(yīng)用。

二、自主探究，體驗(yàn)?zāi)Ｐ?/p>

1.模擬表演，幫助理解題意

教學(xué)時(shí)，我讓兩名學(xué)生模擬表演相遇的過(guò)程，引導(dǎo)理解題目中的“同時(shí)”“相向”“相遇”等關(guān)鍵詞，知道兩人相遇時(shí)，她們合起來(lái)已經(jīng)走完了甲、乙兩地之間的全部路程，那么，她們兩人所走的路程和就是甲、乙兩地之間的距離。將情境中的本質(zhì)屬性抽取構(gòu)建出相遇問(wèn)題的幾個(gè)關(guān)鍵特征，建立起新的語(yǔ)言模型。

2.畫(huà)線(xiàn)段圖，理清數(shù)量關(guān)系

表演中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)相遇時(shí)間、路程的長(zhǎng)短、速度的快慢等條件并非都能表演出來(lái)，此時(shí)，我告訴他們，理解題目需要數(shù)學(xué)方法，可以將三個(gè)位置用點(diǎn)表示，將他們行走的路程表示成一條線(xiàn)段。通過(guò)線(xiàn)段圖，幫助學(xué)生直觀、形象地理解各數(shù)學(xué)信息之間的關(guān)系，不僅能了解線(xiàn)段圖的畫(huà)法，而且對(duì)于題目的理解從生活經(jīng)驗(yàn)上升到數(shù)學(xué)模型，有助于分析數(shù)量關(guān)系，確定解決問(wèn)題的突破口，尋找解決的辦法。

三、互助釋疑，建立模型

在建立模型的同時(shí)，我鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)線(xiàn)段圖，獨(dú)立找到解決問(wèn)題的兩種不同思路，即先計(jì)算出兩人行走的路程，再相加。由于兩人同時(shí)出發(fā)，所用的時(shí)間相同，還可以先計(jì)算出每分鐘兩人所走的速度和，再乘相遇時(shí)間，計(jì)算出總路程。在此過(guò)程中滲透了數(shù)量關(guān)系式模型的雛形。接下來(lái)課件出示練習(xí)，歸納總結(jié)兩道題目相同的地方和解答思路上的共同處，水到渠成地建立起“速度和×相遇時(shí)間=總路程”這一數(shù)學(xué)模型。整個(gè)建模過(guò)程層層深入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了自主探究、分析、比較、歸納、概括的全過(guò)程。

四、練習(xí)檢測(cè)，鞏固模型

1.兩列火車(chē)同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行，3小時(shí)后相遇，已知它們每小時(shí)分別行駛90千米、80千米，兩地相距多少千米？

2.甲、乙同時(shí)從兩地相向而行，甲每小時(shí)行83千米，乙每小時(shí)行95千米，兩小時(shí)后相遇，兩地之間的距離是多少千米？

（應(yīng)用剛才建立的模型解決兩道和例題相似的問(wèn)題，體現(xiàn)了模型建立的必要性。）

五、解決問(wèn)題，應(yīng)用模型

1.甲、乙兩人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相背而行，甲每小時(shí)走3千米，乙每小時(shí)走3.5千米，5小時(shí)后兩人相距多少千米？

2.甲、乙兩輛汽車(chē)同時(shí)從蘭州出發(fā)，甲車(chē)每小時(shí)行52千米，乙車(chē)的速度是甲車(chē)的1.5倍，兩車(chē)開(kāi)出4小時(shí)相距多遠(yuǎn)？

3.兩列火車(chē)同時(shí)從相距525千米的兩地相對(duì)開(kāi)出，3小時(shí)后相遇，一列火車(chē)每小時(shí)行90千米，另一列火車(chē)每小時(shí)行多少千米？

當(dāng)相遇問(wèn)題模型逐漸被學(xué)生理解掌握后，很容易形成思維定式，對(duì)于類(lèi)似問(wèn)題，不假思考，套用關(guān)系式。學(xué)生通過(guò)這一組變式練習(xí)，加深了對(duì)相遇問(wèn)題內(nèi)涵與外延的理解，重塑了相遇問(wèn)題模型，深化了此類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)屬性。

總之，在行程問(wèn)題的教學(xué)中，我選擇用學(xué)生身邊熟悉的問(wèn)題作為“數(shù)學(xué)建模”的起點(diǎn)，選用多種探究的方法，從易到難，讓學(xué)生在解題的過(guò)程中分析數(shù)量關(guān)系，逐漸建立“數(shù)學(xué)模型”，在探索、獲得數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，同時(shí)也獲得了構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問(wèn)題的思想和方法，不僅有知識(shí)方面的學(xué)習(xí)，而且還有對(duì)研究問(wèn)題方法的指導(dǎo)，這對(duì)學(xué)生的發(fā)展來(lái)說(shuō)，意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于單純地獲得某一數(shù)學(xué)知識(shí)！

（作者單位 甘肅省慶陽(yáng)市東方紅小學(xué)）

編輯 謝尾合