巧用三角函數求解與圓相關的最值問題

摘 要：在處理圓或扇形內接矩形的面積問題中，常常采用角度作為刻畫面積的變量，如何找到合適的角表示內接矩形的面積就是解決問題的關鍵。圓的參數方程又給出了角度和位置的關系，所以借助三角函數強大的變形力量可以巧解圓的最值問題。

關鍵詞：三角函數；圓；最值；變量

求解與圓相關的最值問題是平面幾何中的常見問題，常常需要利用基本不等式線性規劃等解決，這個時候基本上要面臨兩個變量的問題。而圓又與角息息相關，如果找到合適的角，利用三角函數強大的變形力量有時會為我們帶來意想不到的效果。

一、關于內接圖形的面積最值問題

1.圓的內接矩形問題

例1.如圖所示，半徑為R的⊙O的內接矩形為ABCD，求矩形 ABCD面積的最大值。

分析：圓的內接矩形并不是固定的，但是其對角線一定經過圓心，所以可以用對角線與一邊所成的角來刻畫矩形的變動。

2.推廣至半圓的內接矩形問題

變式1.如圖所示，半徑為R的半圓O的內接矩形為ABCD，求矩形ABCD面積的最大值。

3.再推廣至扇形的內接矩形

例2.如圖，求圓心角為60°，半徑為1的扇形AOB內接矩形 PQMN面積的最大值。

另外，扇形的內接矩形還有其他形式，如圖，使矩形的一邊平行于弦AB作出內接矩形PQMN。而這樣的內接矩形，我們以扇形的角平分線為分界將這個扇形分成兩個相等小的扇形。

S矩形PQMN=2S矩形PEDN

接下來小扇形的內接矩形就可以類比第一種方法了。

另外如果圓心角為鈍角，可以參考第二種做法分成兩個全等的小扇形，即轉換為圓心角為銳角來解決。

總結分析這幾種情況都有一個中心思想，就是找出哪個量哪

個點的變化導致我們所求的量變化。那么如何抓住這個原始動點呢，可以找到一個參數，讓它的變化代替原始動點的變化，最終將所求變成關于這個參數的函數形式，進而利用函數來解決最值問題。

二、與圓相關的最值問題

三、反思總結

用代數方法解決幾何問題是解決與圓相關的最值問題的一種常見方法，其難點是找到合適的變量。角度可以準確地表示圓中的邊長、位置等關系，所以我們利用三角函數求解圓中的最值問題，借助三角函數的豐富變形形式，順利解決問題。

（作者單位 江蘇省徐州市第七中學）

編輯 謝尾合