活動的課堂，讓數學充滿生機與活力

學生的數學學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程，要有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程，以積累數學基本活動經驗，發展問題解決能力。那么，什么樣的數學活動以及如何實施，才能使數學活動既不流于形式，也不因過于活潑而缺乏思考，有效實現數學課堂教學目標，促進學生發展呢？基于王瑞霖博士和綦春霞教授等對數學活動的分類[1]，《中學數學綠色課堂評價標準》的“數學本質”維度主要從數學學習活動中常見的實驗型數學活動、合作型數學活動和探究型數學活動三個方面考查了數學活動的設計及實施效果。

一、實驗型數學活動

數學是一門高度抽象的學科。“高度抽象性”讓許多學生望“數學”而“生畏”，甚至“止步”。因此，通過具體的感官和體驗，經歷數學知識的抽象過程，應是數學課堂教學活動的必要組成部分。《中學數學綠色課堂評價標準》認為，數學教師應當結合初中生的認知特征，設計必要的“化抽象為直觀，體驗數學知識產生過程”的實驗型活動。根據活動載體的不同，實驗型數學活動可以分為實物型實驗活動和模擬型實驗活動。

1.實物型實驗活動

實物型實驗活動是指學生利用必要的實體物質型學具，通過操作、觀察、思考和猜想等必要性鋪墊過程，探索數學規律，抽象數學知識[2]。當數學知識抽象度比較高，所需學具又比較容易獲得時，就可以讓學生通過實際物體的實驗操作和感知來體驗和理解抽象的數學知識。比如在學習“探索勾股定理”時，教師利用方格紙，讓學生動手測量若干三角形的邊長，計算三角形邊長的平方來探索勾股定理。方格紙的使用，不但較好地避免了學生測量任意三角形誤差帶來的不便，還可以為后繼勾股定理證明思路的形成打下基礎。

2.模擬型實驗活動

模擬型實驗活動是指因各種原因無法在實物操作環境下進行實驗活動，基于多媒體技術、相關軟件和互聯網技術等創設實驗平臺，讓學生經歷操作、觀察、思考和猜想等必要性鋪墊過程，探索數學規律，抽象數學知識的過程。

在學習“用二分法求方程的近似解”時，方程的近似解對“精確度”要求較高。如果設計實物型實驗活動，不但操作煩瑣，操作精度很難滿足要求，而且學生也很難體會出用二分法求方程近似解是一個動態的過程。這在很大程度上會影響學生的直觀體驗。因此，教師就可以基于多媒體和計算器設計實驗型的數學活動。比如，教師可以創設問題情境：在一個風雨交加的夜里，從某水庫閘房到防洪指揮部的電話線路發生了故障.這是一條10km長的線路，如何迅速查出故障所在？接著教師利用幾何畫板進行動態展示，指出維修工人首先從中點C，用隨身帶的話機向兩個端點測試時，發現AC段正常，就斷定故障在BC段，再到BC段中點D，這次發現BD段正常，可見故障在CD段，再到CD中點E來查。每查一次，可以把待查的線路長度縮減一半，如此不用幾次，就能把故障點鎖定在一兩根電線桿附近。教師通過動態模擬，不但可以讓學生形成數學知識點學習必備的直接經驗，而且還很好地描述復雜的二分法原理，從而促進學生的理解，為后面求解方法的探究打下基礎。當然，要很好地實現教學目的，要求教師具有較好的將信息技術與數學教學進行整合的能力，讓學生在信息技術形成的模擬實驗中，理解數學知識的本質。

二、合作型數學活動

除認真聽講、積極思考、動手實踐外，合作交流也是學習數學的重要方式。小組或群體合作交流對于數學表達與交流能力、數學創新意識和合作能力的養成也是非常重要的。因此，《中學數學綠色課堂評價標準》認為，在數學課堂教學中，教師應該以學生的認知發展水平、已有的經驗和數學學習內容特征為基礎，根據數學知識學習的需要，面向全體學生，創設有效的合作型數學活動，讓學生在與他人的交流與合作中，積極發言，有效傾聽，主動建構和理解數學知識。在上面的教學案例中，教師通過模擬實驗讓學生理解了二分法原理以及與方程求解的關系后，就設計了“借助計算器或計算機用二分法求方程x3+x-1=0的近似解（精確度0.1）”的小組合作型活動。教學過程表明，這種設計可以讓學生在沒有思路的時候，通過與同學的交流獲得啟示和靈感，體驗解題遇阻時的困惑以及解決問題的快樂，同時，也讓學生體會用二分法求方程近似解的完整過程，進一步鞏固二分法的思想方法。但是，由于學生心理特征的限制，在合作的過程中，需要教師的適時引導。比如，該教師就通過兩個思考題：“用二分法只能求函數零點的‘近似值’嗎？是否所有的零點都可以用二分法來求其近似值？”引導學生思考、討論和交流，進一步反思二分法的特點，明確二分法的適用范圍以及優缺點，并認識到它只是求函數零點近似值的一種方法。由此可見，在合作型活動中，教師要充分做好組織者和引導者的角色，不但要精心預設合作型數學活動，還要適時參與、引導學生的思維流向和活動節奏。

三、探究型數學活動

在傳統的數學教學中，學生更多地表現為一個學習知識的人，而不是一個具有完整精神世界和獨特個性的人。綠色教育教學觀認為，要使學生作為生命個體的豐富性得到充分展現，生命的價值得到提升，生命的內涵得到豐富，就必須激發學生的興趣，讓學生在數學探究活動中，擁有學習成功的體驗，增長數學學習的自信心。因此，《中學數學綠色課堂評價標準》將探究型數學活動列為考查數學課堂是否關注“數學本質”的指標之一。

所謂探究型數學活動，就是基于教師精心設計或學生自主發現的問題情境，學生親身經歷數學知識的生成、運用和發展的過程，從而真正理解數學的知識，體會和欣賞數學的美。數學課堂教學中的探究型數學活動基本模式一般為“創設情境——學生提出假設——引導探究——修正探究方案——實施探究并驗證結論——交流與評價”的循環過程。例如“用二分法求方程的近似解”課堂教學中，在用幾何畫板進行模擬解釋了二分法原理后，教師繼續創設情境讓學生進行探究，基于原先的情境，創設新的情境：假設電話線故障點大概在函數f（x）=x2-2x-1的零點位置，請學生先猜想它的零點大概是什么，如何找出這個零點？對于這樣的問題，首先由學生自己提出假設，根據函數圖像，學生提出零點可能會在2到3之間。在提出了自己的假設后，教師及時引導學生探究，如果兩個端點的函數值是異號的，那么函數圖象就一定與x軸相交，即方程f（x）=0在區間內至少有一個解，根據這一點學生會繼續縮小范圍。經過探究方案的形成、優化后，教師與學生重新實施了方案，最終找到了兩個近似解，并形成了用二分法求方程近似解的基本步驟。在探究型數學活動中，根據學生的實際情況，教師要通過“問題串”的設計，讓學生始終處于一種疑問狀態，但是教師不要過多干涉，只需對其研究方向做引導即可。

基于數學學習內容特征和初中學生的認知特征，建構必要的、能夠激發學生學習興趣的、有利于學生積極思考、合作交流和動手實踐的數學活動，讓學生真正“動”起來，讓課堂真正“活”起來，學習真正的“活數學”，不但是中學數學教師必備的專業素養，也是中學數學綠色課堂教學的永恒追求。

參考文獻：

[1]王瑞霖，綦春霞，李孝誠.數學活動理論探求與實踐反思[J].數學通報，2012（7）.

[2]張立新.“數學實驗活動”的設計與開發研究[J].中國現代教育裝備，2011（6）.

（作者單位：1.北京師范大學教育學部 2.北京市石景山區基礎教育研究中心 3.北京市石景山中學）

（責任編輯：馬贊）