思維的課堂，發展學生的數學思維能力

義務教育和高中階段數學課程標準都指出，數學教育要發揮數學在培養人的思維能力方面不可替代的作用。義務教育階段數學課程標準將“數學思考”列為四個課程目標之一，要求學生通過數學思考，發展數學思維，體會數學基本思想和思維方式。高中數學課程標準則將“注重提高學生的數學思維能力”列為十大基本理念之一。關注“以數學思維能力為基礎的數學能力的培養”是重要的評價維度之一。思維是具有意識的人腦對客觀事物的本質屬性和內部規律概括的間接反映，簡而言之，人的大腦思考問題的這種內部活動就是思維[1]。根據數學思維活動的特點，在中學數學綠色課堂中，主要關注抽象思維、推理思維和發散思維活動。

一、抽象思維

高度的抽象性是數學的三大特點之一。所謂抽象思維，是指舍棄對象的具體形象，憑借概念，按照形式邏輯和辯證邏輯的規律，進行判斷和推理的一種思維。在中學數學課堂教學活動中，抽象思維主要體現在形成數學概念和應用數學知識兩種活動中。因此，我們主要從這兩個維度來評價數學綠色課堂中，學生抽象思維的運用和發展情況。

1.在數學概念形成過程中，運用和發展學生的抽象思維

數學概念的形成是學生數學學習活動的重要組成部分之一。數學概念的形成過程，應該是學生在觀察、分析、歸納等活動的基礎上，運用抽象思維，提取本質屬性，舍棄非本質屬性的過程。數學教師要通過設計有效的數學活動，促進學生對數學概念的理解，培養和發展學生的抽象思維。例如在“平行線的判定方法”教學過程中，在講授“兩條直線平行，內錯角相等”時，當教師問“所有的內錯角都相等嗎”，不少學生都會想當然地回答“是”，這就是由于他們沒有真正理解“內錯角”的概念所導致的結果。如果教師在之前的教學中，引導學生學習內錯角、同位角和同旁內角等概念時，能夠設計有效的情境，通過“做一做（實際操作或媒體模擬）——看一看（兩個角的變化情況）——想一想（請學生給這兩個角命名）——議一議（小組交流，說明理由）”等教學流程，讓學生經歷抽象這些概念的過程，就能清楚地把握它們的本質屬性（位置關系），舍棄非本質屬性（角的大小、其中兩條直線是否平行等）。

2.在數學知識應用過程中，運用和發展學生的抽象思維

數學是模型的科學[2]。現代中學數學教學日益強調模型思想和建模意識的培養，并在數學課程中明確以模型觀審視一次函數、不等式等基本內容。因此，從廣義上而言，數學知識的應用過程，就是數學建模的過程。在日常數學課堂教學中，教師應該有意識地在問題解決過程中，通過清晰地表達、合理地化簡等過程，訓練和發展學生的抽象思維。比如在學完“一次函數”內容后，教師就可以基于學生熟悉的“手機套餐”問題，設計“精打細算選套餐”活動，讓學生在調查研究的基礎上，利用學習過的知識，將問題化簡、抽象，建立數學模型，解決問題。需要注意的是，學生運用數學知識的過程中，教師要結合實際，盡可能放開手腳，讓學生經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程。

二、推理思維

推理是思維的一種基本形式，是學生獲取知識的重要方法，也是解答或證明問題的重要手段[3]。《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法。”即將合情推理與邏輯推理放在了同等重要的地位。“觀察、實驗、猜想”實質上是一個利用合情推理探索發現的過程，而“證明”則是在合情推理的基礎上，進行演繹論證從而完成完整的推理過程，得到合理且嚴謹的結論[4]。《中學數學綠色課堂評價標準》主要從合情推理和演繹推理兩個維度來考查學生推理思維的運用和發展情況。

1.合情推理

合情推理是從觀察或實驗獲得的事實出發，憑借經驗和直覺，通過歸納和類比推斷某些結果。它的核心是“探索發現，歸納類比”。所以，教師能否為學生提供思考、探索、交流和發現的空間，讓學生經歷“觀察、實驗、猜想”等活動機會，就顯得尤為重要。這也是考查教師是否重視學生合理推理思維培養與發展的重要依據之一。例如在“平行線的判定方法”教學案例中，教師就為學生提供了這樣的機會：讓學生觀察同旁內角互補的情況，并通過“大家通過觀察猜想一下這兩條直線是什么關系？”“我們如何來證明這個猜想呢”和“這和我們以前學習過的平行線的判定方法有什么聯系”等“問題串”形成的思維空間，讓學生較為流暢地找到證明同旁內角定理的方法，并在腦海中形成了大致的證明思路。

2.演繹推理

演繹推理是從已有的定義、公理、定理和確定的規則，包括運算的定義、法則、順序等出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。在數學課堂教學中，訓練和發展學生的演繹推理思維，是數學教育價值的重要體現之一。因此，《中學數學綠色課堂評價標準》也將教師能否有效培養和發展學生的演繹推理思維作為重要的評價指標之一。

要讓學生形成良好的演繹推理思維，在數學課堂教學中經常性地整理學生松散跳躍的思維過程是很重要的一個方面。特別是在初始階段，教師需要經常性地指導和反復強調。在前文提到的案例中，學生已經通過合情推理找到了證明“同旁內角互補，兩直線平行”的方法。接下來，教師就根據學生口述，板書了證明過程：

∠4+∠7=180。

∠7+∠8=180。

∴∠4=∠8（同位角的余角相等）

∴AB平行于CD（同位角相等，兩直線平行）

這時教師轉而問全班同學：“有什么不完整的地方嗎？”部分學生若有所思地表示贊同，教師繼續詢問道：“第一個式子是哪里來的？”部分學生回答：“已知的。”教師在第一個式子的后面補上證明理由：（已知），并反復強調證明的過程要按照格式注明式子的來歷，而后學生立刻反應到第二個式子也沒有寫證明理由，當教師問道：“第二個式子哪里來的？”學生齊答：“鄰補角互補。”經過這樣的訓練，學生每次口述證明過程時，都會在式子敘述完后加上一句“理由是……”這就達到了訓練學生嚴謹思維的目標。

不難看出，與合情推理用于探索思路、發現結論不同，演繹推理注重結論的嚴謹證明，兩種推理方式雖然功能不同，但應相輔相成。

三、發散思維

發散思維又叫求異思維，它是由某一條件或事實出發，從各個方面思考，產生出多種答案，即它的思考方向是向外發散的。發散思維還指從不同角度去理解問題，尋找某一結論的各種可能的充分條件和必要條件，提出解決某一問題的各種設想和方法等[5]。由于這種思維是朝著各個不同方向進行的，思路開闊，易于探索到新結論，提出新的方法和思想，所以正如徐利治先生給出的公式“創造能力=知識量×發散思維能力”，發散思維能力越高的人，越有利于思維創造性的發揮。因此，學生發散思維的運用和發展情況也是《中學數學綠色課堂教學評價標準》的重要指標之一。在中學數學教學過程中，教師可以創造機會有意識地培養和再塑學生的發散思維。比如在上文教學案例中，教師在“同旁內角互補，兩直線平行”證明方法探索和論證環節，就通過尋求不同的轉化方法（分別轉化為同位角相等、內錯角相等）來發展學生的發散思維。需要注意的是，由于學生年齡特征的限制，教師要加以適時指導，以防止學生毫無目的地發散。

參考文獻：

[1]任樟輝.數學思維論[M].南寧：廣西教育出版社，1996.

[2]蔣志萍，汪文賢.數學思維方法[M].杭州：浙江大學出版社，2011.

[3]朱曉鴿.邏輯析理與數學思維研究[M].北京：北京大學出版社，2009.

[4]馬復.初中數學教學策略[M].北京：北京師范大學出版社，2010.

[5]周春荔.數學思維概論[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

（作者單位：1.北京師范大學教育學部 2.北京市石景山區基礎教育研究中心 3.北京市蘋果園中學）

（責任編輯：馬贊）