運(yùn)用“變異理論”引導(dǎo)學(xué)生全面理解圓柱和圓錐的關(guān)系

針對(duì)“圓柱和圓錐”這一內(nèi)容，通常的教學(xué)順序是：首先通過圖形的旋轉(zhuǎn)引入表象的圓柱和圓錐，然后借助正方體、長方體的表面積和體積的計(jì)算公式，推導(dǎo)出圓柱的表面積和體積的計(jì)算公式，最后利用圓柱的體積是圓錐體積的3倍這一關(guān)系，推導(dǎo)出圓錐的體積公式。

從教學(xué)結(jié)果來看，有兩點(diǎn)值得注意：一是學(xué)生對(duì)圓柱和圓錐的特征、圓柱和圓錐體積的計(jì)算方法以及圓柱表面積的計(jì)算方法掌握較好；二是學(xué)生對(duì)圓柱和圓錐體積之間的關(guān)系掌握并不理想（只記得等底等高時(shí)，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，圓錐的體積是圓柱體積的1/3；而當(dāng)圓柱與圓錐等體等底或等體等高時(shí)往往學(xué)生不清楚“誰占誰的1/3”）。針對(duì)第二點(diǎn)，我一直在尋求可行的、有效的教學(xué)方法，力求突破難點(diǎn)，達(dá)到良好的教學(xué)效果。

在接觸了“變異理論”之后，我嘗試站在嶄新的角度，重新進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。“變異理論”一直強(qiáng)調(diào)知識(shí)的關(guān)鍵屬性，因此，針對(duì)學(xué)生困惑的關(guān)鍵點(diǎn)，我決定從倍、比、份三個(gè)角度全面、有序地講解圓柱和圓錐的關(guān)系，并據(jù)此安排了“圓柱與圓錐”這一內(nèi)容的專題訓(xùn)練課。

根據(jù)“變異理論”，教師需要通過展現(xiàn)不同維度的“變”，以呈現(xiàn)“不變”的關(guān)鍵屬性，從而讓學(xué)生全面、深刻地理解事物的關(guān)鍵屬性，并將事物的關(guān)鍵屬性融合到認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，最終促進(jìn)未來的學(xué)習(xí)和遷移。針對(duì)“圓柱和圓錐”這一內(nèi)容，學(xué)生需要把握的關(guān)鍵點(diǎn)是：判斷圓柱和圓錐的關(guān)系，必須同時(shí)考慮高、底面積（或底面半徑）和體積這三個(gè)變量中的兩個(gè)。為了幫助學(xué)生理解這一關(guān)鍵點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

一、強(qiáng)化等底等高的圓柱和圓錐的體積關(guān)系

在第一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，我通過例題引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已學(xué)知識(shí)。然后，借助線段圖，展示“份”“倍”和“比”三者的關(guān)系，以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方式表述圓柱和圓錐的比例關(guān)系。

師：在等底等高時(shí)，你們能用線段圖表示圓柱和圓錐的體積關(guān)系嗎？（板書：等底等高）

師：觀察線段圖，在等底等高時(shí)，圓錐的體積對(duì)應(yīng)的是幾份？圓柱的體積對(duì)應(yīng)的是幾份？圓柱和圓錐的體積之和對(duì)應(yīng)的是幾份？圓柱和圓錐的體積之差對(duì)應(yīng)的是幾份？（板書：份）

生：在等底等高時(shí)，圓錐的體積對(duì)應(yīng)的是1份；圓柱的體積對(duì)應(yīng)的是3份；圓柱和圓錐的體積之和對(duì)應(yīng)的是4份；圓柱和圓錐的體積之差對(duì)應(yīng)的是2份。（如圖1所示）

師：在等底等高時(shí)，你是否能從“倍”的角度，完整有序地表述圓柱和圓錐的體積關(guān)系？（板書：倍）

生：在等底等高時(shí)，圓錐的體積是圓柱體積的1/3，圓柱的體積是圓錐體積的3倍；圓柱和圓錐的體積之和是圓錐體積的4倍，是圓柱體積的4/3；圓柱和圓錐的體積之差是圓錐體積的2倍，是圓柱體積的2/3。

師：在等底等高時(shí)，你是否能從“比”的角度，完整有序地表述圓柱和圓錐的體積關(guān)系？（板書：比）

生：在等底等高時(shí)，圓錐和圓柱的體積比是1：3；圓柱和圓錐的體積比是3：1；圓柱和圓錐的體積之和與圓錐體積的比是4：1，與圓柱體積的比是4：3；圓柱和圓錐的體積之差與圓錐體積的比是2：1，與圓柱體積的比是2：3。

二、逆向思考等體等底時(shí)，圓柱和圓錐的高的關(guān)系

在第二個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，我通過一組精心設(shè)計(jì)的計(jì)算題，引出等體等底的條件下，圓錐的高是圓柱高的3倍的事實(shí)，然后通過用手指畫、觀察投影片、畫線段圖和語言表述等方法，使學(xué)生對(duì)圓柱與圓錐的高的關(guān)系有更加感性的認(rèn)識(shí)。

師：我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，思維不僅要有序，更要可逆。這里有兩道逆向應(yīng)用圓柱和圓錐體積公式的題目，誰會(huì)解？

[展示例題：一個(gè)圓錐體積是36立方分米，底面積是9平方分米，它的高是（ ）分米；一個(gè)圓柱體積是36立方分米，底面積是9平方分米，它的高是（ ）分米。]

師：在等底等高時(shí)，圓柱和圓錐的體積關(guān)系，明明是圓柱大，圓錐小，可是從兩道例題看，為什么圓錐高，圓柱矮呢？請(qǐng)比較這兩道例題的已知條件和計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果？

生：在等體等底時(shí)，圓錐的高是圓柱高的3倍。

師：用手指在桌上畫一畫，這樣的圓柱和圓錐擺在一起會(huì)是什么樣子？誰能形容一下？（如圖2所示）

接下來，與第一個(gè)環(huán)節(jié)一樣，我借助線段圖，展示“份”“倍”和“比”三者之間的關(guān)系，以引導(dǎo)學(xué)生用不同的方式表述圓柱和圓錐的高的關(guān)系。

三、自主思考等體等高時(shí)，圓柱和圓錐的底面積的關(guān)系

在第三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生運(yùn)用前兩個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)過程和方法自主學(xué)習(xí)。我先提問，后總結(jié)。

師：我們已經(jīng)研究了等底等高時(shí)，圓柱和圓錐的體積關(guān)系；等體等底時(shí)，圓柱和圓錐的高的關(guān)系；接下來，我們研究等體等高時(shí)，圓錐和圓柱的底面積關(guān)系。你會(huì)用線段圖表示它們之間的關(guān)系嗎？

師（總結(jié)）：通過觀察線段，我們發(fā)現(xiàn)無論是等底等高還是等體等底、等體等高的圓柱與圓錐之間都是一份和三份的關(guān)系。所不同的是：等底等高時(shí)，圓柱的體積是3份，圓錐的體積是一份；體積相等，高和底只有一樣不相等時(shí)，圓錐是3份，圓柱是一份。

四、運(yùn)用圓柱和圓錐的關(guān)系解決問題

在第四個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，我精心設(shè)計(jì)了一組練習(xí)題。

填空題：

一個(gè)圓柱和一個(gè)與它等底等高的圓錐的體積之和是24立方米，圓柱的體積是（ ）立方米，圓錐的體積是（ ）立方米。

選擇題：

有一個(gè)圓柱容器和幾個(gè)圓錐容器（如圖3所示），將圓柱內(nèi)的水倒入（ ）圓錐內(nèi)，正好倒?jié)M。

應(yīng)用題：

給舞臺(tái)設(shè)計(jì)一個(gè)背景（如圖4所示），請(qǐng)你算一下這個(gè)背景的體積（單位：米；只列式，不計(jì)算）。有幾種不同的算法？

上述練習(xí)題旨在培養(yǎng)學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。在設(shè)計(jì)練習(xí)題時(shí)，我試圖創(chuàng)設(shè)一定的問題情境，使學(xué)生將剛剛學(xué)習(xí)的有關(guān)圓柱和圓錐的關(guān)鍵屬性融合在一起，并觀察學(xué)生在既定的問題情境中能否綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決相關(guān)問題。

通過教學(xué)“圓柱和圓錐”這一內(nèi)容，我對(duì)“變異理論”有了更深的理解。它是對(duì)遷移理論的繼承和超越，它要求學(xué)生清晰地辨識(shí)概念與概念之間的區(qū)別，把學(xué)會(huì)的知識(shí)和解題技能正確地遷移并應(yīng)用到各種不同的情境中。當(dāng)學(xué)生對(duì)當(dāng)前所學(xué)內(nèi)容具備一定的知識(shí)基礎(chǔ)后，教師應(yīng)將當(dāng)前所學(xué)內(nèi)容與過往的教學(xué)內(nèi)容相聯(lián)系，或?qū)?dāng)前所學(xué)內(nèi)容應(yīng)用到實(shí)際的生活情境中，讓學(xué)生解決具有一定“思維挑戰(zhàn)性”的綜合問題。這樣，既完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)，又增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的能力和解決問題的能力。

（作者單位：北京市海淀區(qū)育鷹小學(xué)）

（責(zé)任編輯：梁金）