基于微分幾何的永磁直線同步電機非線性控制方法研究*

劉 劍，崔柳月，龔志恒，劉美菊，高恩陽

(沈陽建筑大學信息與控制工程學院，沈陽110168)

永磁直線同步電機PMLSM(Permanent Magnet Linear Synchronous Motor)［1］具有機械結構簡單、低摩擦阻力、無污染、無反沖、長距離高速高精度定位等優勢，在很多領域發揮著重要作用。近幾年來，將其應用于垂直升降系統引起了人們極大的關注。它作為電梯的曳引驅動系統，具有運行能耗低、傳動效率高和占用空間小等優點，其工作狀況直接影響著電梯的運行狀態。然而，由于它的高精度運動會受到負載擾動、推力波動(齒槽力波動、磁阻力波動、端部效應等)的影響，因此對其控制器的設計提出更高的要求。

為了能夠克服伺服系統所具有的非線性和不確定性，很多研究人員將滑模變結構控制算法［2］應用于PMLSM系統中，滑模變結構控制算法［3］具有響應速度快，穩定易實現等優點。文獻［4］提出了二階滑模控制方法，設計速度電流控制器，在出現參數和推力變化時，分別選取速度和直軸電流控制的滑模量，使系統具有良好的速度跟蹤性能，并提高了魯棒性。文獻［5］提出了神經滑模控制方法，通過控制器實現位置跟蹤，在線調整參數，實現了伺服系統的跟蹤精度和低速平穩性。文獻［6］提出自適應模糊滑模變結構控制算法，采用自適律和模糊逼近理論來逼近滑模控制器的輸出，還應用自適應的切換控制器對滑模控制器的輸出進行補償。提高了系統在高加速度運動條件下的控制精度。但上述控制方法只能保證系統狀態收斂到以滑模面為中心的邊界層內，只能任意接近滑模，不能收斂滑模［7-8］，因此在一定程度上系統的精度得不到保證。

為此，本文采用了基于微分幾何的最優控制理論(簡稱微分幾何方法)［9-10］，它是一種沒有使用任何近似線性化的方法，即可將非線性系統轉化為線性系統，并完整地保留了系統的非線性特性，利用這一特點，設計一個針對線性系統的控制器完成對永磁直線同步電動機的最優控制。

1 永磁直線同步電機系統

PMLSM是一個非線性強耦合多變量的動態系統，PMLSM在d-q軸的動態數學模型可描述為:

式中ud、uq，id、iq，Ld、Lq分別為d、q軸動子電壓、電流、電感;ψf為定子永磁體磁鏈;τ為定子極距;Rs為動子電阻;v為定子線速度;FΣ為包括負載阻力、端部效應阻力和摩擦力在內的總擾動力;M為動子和負載的總質量;Bv為粘滯摩擦系數;p為極對數。

設狀態變量為x=［x1x2x3］T=［idiqv］T，輸入為u=［u1u2］T=［uduq］T，輸出為y1=h1(x)=x1=id，y2=h2(x)=x3=v，則PMLSM系統的數學模型可表示為

通過微分幾何狀態反饋精確線性化的方法把其轉換成一個線性系統，再對其進行最優控制器的設計。

2 基于微分幾何的狀態反饋精確線性化

2.1 精確反饋線性化條件

定理1對于多輸入多輸出的仿射非線性系統，其表達式為:

(1)n個向量場所組成的矩陣為:

其中x0點是非奇異的;

(2)n個向量場集合中的每一個集合都是對合的。

系統的輸入個數m=2，故選n1=m=2，這時只能選n2=1才能使n1+n2等于狀態變量的維數，從而知道N=2，nN=n2=1。根據定理1，組成3個向量場的集合為:

D1、D2、D3都是對合的，所以該系統可以精確反饋線性化。

2.2 精確反饋線性化原理

基于微分幾何方法的精確反饋線性化是一種未使用任何近似線性化的方法，完整的保留了PMLSM系統的非線性特性，圖1為其狀態反饋精確線性化設計原理圖。

圖1 狀態反饋精確線性化設計原理圖

由積分曲線的概念及符號，求以新的坐標w表示的狀態空間Rn到原來以x為坐標的狀態空間Rn的映射x=F(w)，則:

由此，解出定義的映射為:

求出導出映射(f)，從而求得f(0)(w)，得到以下表達:

由于永磁同步直線電機系統中n1=2，n2=1，N=2，故只需求變換RN-1=R1。再相應的變換T=R1F-1應為:

T的Jacobian矩陣為:

將T變換后，可求出最后一組變換，在該坐標變換下，原非線性系統的向量場 f(x)和 g1(x)、g2(x)可以重新寫為:

由此可得永磁同步直線電動機的非線性控制律為:

在新坐標及反饋變換下，永磁直線同步電機系統轉化為線性系統:

它的Brunovsky標準型為:

3 最優控制器設計

通過求解ATP+PA-PBBTP+Q=0得出P*，通過K*=-BTP*求出K*，從而可得，永磁同步直線電動機系統的最優控制律v*為:

根據式(17)，可得永磁同步直線電機系統的非線性最優控制律為:

由式(9)可知:

圖2 控制系統結構原理圖

基于微分幾何的最優控制器結構如圖2所示，以d、q動子電壓作為輸入，以d、q軸動子電流進行輸出對最優控制器進行在線調節。

4 仿真及分析

為了驗證微分幾何最優控制動態性能的優越性，本文采用MATLAB對PMLSM系統進行實驗仿真，永磁同步直線電動機的參數選取如表1。

為了對比分析，在相同參數及條件下，分別與傳統PID控制進行仿真比較。當PMLSM空載起動時，階躍響應參考線速度為1 m/s，在t=0.3 s時突加FΣ=120 N的負載阻力，Ld=Lq=120%L。通過反復的調節控制器的參數，使其達到了最佳效果，采用的微分幾何最優控制器的參數為:k*1=0.87k*2=1.19。傳統PID控制的參數為:kp=2.1，ki=3.6，kd=1.7。圖3和圖4為PMLSM系統在兩種控制方法下參數變化前后的定子線速度響應曲線。

表1 實驗數據參數表

圖3 參數變化前定子線速度響應曲線

圖4 參數變化后定子線速度響應曲線

通過對比參數變化前后的定子線速度響應曲線可以得出，在t=0.3 s時突加的負載阻力，基于微分幾何的非線性最優控制方法對負載擾動的魯棒性要明顯的優于傳統PID控制方法，參數的變化也對其影響較小。超調量較小，振蕩也較小，其控制效果要明顯優于傳統PID控制。

5 結論

本文以PMLSM作為電梯的曳引驅動系統為背景，考慮其經常受到負載擾動、推力波動的影響。基于微分幾何方法設計了穩定的最優控制器，改善了系統的跟蹤性能，提高了系統的魯棒性和控制精度。

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