基于全變分的模糊人臉圖像復原算法

魏雪飛，葛成偉

(南京工業大學電子與信息工程學院，南京211816)

在人臉圖像采集過程中，采集到的圖像往往會出現亮度失衡或者模糊的現象。影響圖像清晰程度的因素很多，如拍攝過程中的抖動、聚焦不準、曝光過度或不均以及攝像頭和景物之間的相互移動，都會降低圖像的質量，這一質量下降的過程稱為圖像的退化。為在復雜環境下進行人臉圖像采集的任務，有必要引入圖像復原技術。圖像復原技術是盡可能解決受到外界干擾所引起的圖像模糊問題，復原質量的好壞很大程度上決定了人臉檢測和特征提取的效果。

圖像復原是圖像處理領域的一個經典問題，研究者在硬件技術和軟件技術方面提出了很多解決方法。硬件角度上，視頻芯片和攝像機生產商提出了防抖動、運動補償的方案。軟件角度上的研究比較充分，早期就有逆濾波法、最小均方誤差濾波法、約束最小二乘方濾波法等一些經典復原算法。由于圖像復原問題是一個病態求逆過程，將會導致無解或者解的不唯一性。目前研究比較成功的是Chan等人的變分正則化方法［1-3］，即利用原始圖像的局部平滑、非負性和能量有限等先驗知識，將復原問題轉化為一個最小代價函數的優化問題。文獻［4］提出優化-最小求解的方法解決了鄰域像素的變分問題，改善信噪比指標達到2 dB左右。

本文在充分結合人臉圖像采集過程的基礎上，根據全變分正則化的思想，引入相容點集的概念，提出一種有約束的人臉圖像復原算法，并使用最速下降算法求解，初步實現了模糊圖像復原的預處理過程。

1 圖像復原全變分模型

圖1是一個通用的圖像退化和復原模型［5］。在這個模型中，圖像退化的過程可以建模為作用在一幀原始圖像f(x，y，n)(以下簡寫為 f(n)，n為幀號)上的退化函數h(x，y，n)(以下簡寫為 h(n))，與一個噪聲 η(x，y，n)(以下簡寫為 η(n))聯合作用產生了退化圖像g(x，y，n)(以下簡寫為g(n))。根據這個模型，圖像復原就是要在給定g(n)相關信息的基礎上，得到f(n)的近似(以下簡寫為

圖1 圖像退化及復原模型

上述退化模型的數學表達式可以表示為

式中，f(n)為一幀原始圖像，h(n)即為退化因子，η(n)為隨機噪聲，g(n)為采集到的圖像;·表示線性卷積。為了方便研究，暫時不考慮隨機噪聲。設f(n)的尺寸為M1×N1，h(n)的尺寸為M2×N2，且圖像模糊前后無能量損失，即有，式(1)變為

構造復原模型:

ε是事先確定的誤差界，可以取ε=1。

根據上述分析，可以得到，圖像復原本質上是求^f，其關鍵在于求h。這是一個病態的求逆過程。如果h等于0或者很小的時候，噪聲將被放大，因此任何一種圖像復原算法都要考慮當出現病態性時如何控制噪聲對復原結果的干擾。

本文使用全變分因子，構造模糊圖像復原模型，提出了一種基于全變分的模糊人臉圖像復原算法，這種算法通過引入點集的概念進行歸類，并使用最速下降法求解該模型。實驗結果表明，這種轉化實現了模糊圖像的復原。

考慮圖像的采集過程，構造全變分約束模型［3］

在已經得到初始估計h(0)和初始估計f(0)之后，進一步改進有關估計。記第k幀的圖像估計和模糊因子估計為f(k)，h(k)。在每次迭代過程中，式(4)不一定均滿足，為了表示這些約束條件的不同情形，引入點集記號如下:

由此得到點集:Φ(k)，Γ1(k)，Γ2(k)，(k=0，1，…)，Γ1(k)，Γ2(k)表示第k次迭代時不相容的點集，Φ(k)表示第k次迭代時的相容點集。因此，優化式(5)可以得到:

其中α是一個懲罰因子，可以是很小的正參數(暫假設α=0.01)，為了計算方便也可令α=0或α=1。當α越大時，懲罰越厲害。

如果一個圖像具有快速變化點或是跳躍點，那么其頻域的高頻成分會比較大。為了體現圖像的跳躍程度，在原目標函數加上約束項:

f(ω)為原始圖像f(n)的傅里葉變換。表示圖像在頻域上的總能量，由經驗知近似表示跳躍對應的能量。

上述表達式中既有時域函數，又有頻域函數，為了便于計算，利用Parseval公式統一轉化為時域函數，有

最后將圖像平滑性與跳躍性結合在一起，進一步改進，得到優化的目標函數為:

其中

其中I(k)是圖像恢復的清晰度因子，R(k)是圖像獲取因子。

對于上面給定的目標函數優化問題，可以歸結到求解一種搜索迭代過程。在搜索迭代中，將前一幀的跟蹤結果作為后一幀的初始化輸入。每一次搜索后，目標函數和約束條件都要改變。具體的算法流程:首先利用式(11)計算下降方向，再根據目標函數確定步長。最后，檢驗新的圖像估計是否滿足有關約束，并由此改變目標函數及約束條件，如此循環。

使用最速下降法［6］在求解上述最小化模型中，需要得到目標模型的下降方向和下降步長。為了統籌考慮原始圖像及模糊因子的誤差大小，引進變量的增量δf，δh，記關于f和關于h下降方向分別為:δf=-?J/?f，δh=-?J/?h。采用線性搜索的方法計算新的目標點:

其中λ是由約束條件確定的沿下降方向的前進步長。

對于迭代步長λ，在每次迭代過程中希望相容點集保持穩定，并且希望有更多的不相容點集變為相容點集，即

這是一個關于變量λ的二次方程，根據根的判別式法可以判定是否有解。

對于每一個(i)∈Φ(k)，一定能有一個可行的步長，即大于零的步長保證目標函數下降，同時下降步長的不能太小，因此，在下降方向搜索步長的最小值:

另一方面，還需要約束步長不要過大，避免出現從一個不可行點集到另一個不可行點集的情形，即

和

為此，由

計算得

2 實驗結果及分析

為了測試本算法對模糊人臉圖像復原的有效性，采用ORL圖像庫的一個子集進行測試。對受到一定噪聲污染的模糊人臉圖像(為方便起見，將圖2三人自上而下命名為甲、乙、丙)，使用本算法對其進行復原，對比結果如圖2所示。

圖2 圖像復原效果

圖2(a)、2(b)、2(c)列顯示了設定參數μ分別為1、0.5和0時，本文算法對模糊人臉圖像的復原效果((a)、(b)、(c)列分別為甲、乙、丙復原前后的圖像)。μ是平衡參數，權衡總有界變差項與總觀測誤差項的比值，如果μ取值過大則殘留較大的噪聲，取值過小則模糊不能完全去除。(a)兩列的人臉圖像，引入噪聲比重較大，雖然復原得到的圖像仍存在殘余噪點，但是圖像邊緣相對清晰了很多;(b)兩列圖像受到的噪聲干擾減小，復原后的圖像也逐漸逼近原始圖像;(c)兩列再次加大信噪比，復原圖像存在較多的偽影和振鈴，但是仍然清晰顯示了人臉的輪廓。實驗結果表明，無論是有無噪聲污染情況下，經過復原得到圖像都能反映原始圖像。

為進一步說明圖像的復原效果，采用圖像復原質量的評價標準模型［7］中的峰值信噪比(PSNR)公式對上述結果進行定量評價:

計算原始圖像與復原圖像的PSNR，結果如表1所示。

表1 復原信號與原始信號的PSNR

通常PSNR越大，說明圖像復原得越好。表1中的PSNR數據也表明本文算法的有效性。同時可以看到參數μ是影響信號復原效果的關鍵因素。

3 結論

針對退化模糊的人臉面部圖像，本文研究了圖像在采集過程中退化的原因，給出了一種基于全變分的最優化算法，并使用最速下降法進行迭代求解。這種算法基本上重現了原始圖像，為后續的人臉檢測、跟蹤和行為理解等提供了一個理想的畫質。

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