基于廣義梁理論的薄壁圓柱殼穩定性分析

譚福穎 喬 玲 韓曉林

(東南大學土木工程學院,南京 210096)(東南大學江蘇省工程力學分析重點實驗室,南京 210096)

殼體結構在航空航天工程和土木工程中得到了廣泛應用,而圓柱殼屈曲問題一直是殼體研究中最為關注的課題之一,這類結構在承受荷載時大多在強度破壞前就已發生失穩破壞,因此研究影響薄壁殼體穩定性的因素一直受到研究者們的重視.

對于廣義梁理論,國內外學者進行了大量研究.1989年德國學者Schardt[1]首次提出廣義梁理論,此理論是在經典的Vlasov梁理論的基礎上進行拓展,通過研究局部坐標系下平面彎曲截面下變形,從而分析全局域和局部域下薄壁棱柱形矩形結構構件的屈曲行為.由于Schardt的研究成果主要以德文的形式發表,在一定程度上影響了該理論的傳播和應用.Davies等[2]最先以英文的方式將廣義梁理論進行闡述,并應用該理論對冷彎薄壁型鋼(主要是C形和Z形截面)的相關屈曲進行了系統的理論分析和試驗驗證.文獻[3-7]將廣義梁理論擴展到多種材料形式、考慮剪切扭轉變形、幾何非線性、一階靜力和二階穩定以及任意分支開口截面下的薄壁桿件分析中,并給出了廣義梁有限元模型以及利用數值計算方法求解出了廣義梁方程.我國學者李開禧[8]1990年提出過類似的理論,研究在中線為直線的假定條件下,利用圖解法求解薄壁桿件的截面變形問題.與國外相比,國內對于廣義梁理論這種充分考慮截面變形梁理論的研究仍然滯后,國內相關的研究鮮有報道.

本文將廣義梁理論引入并推廣到薄壁圓形截面柱殼的穩定性分析中,開展了對中空薄壁圓柱殼屈曲的研究,從一階線性分析拓展到各階屈曲分析,通過獲得屈曲應力和與之對應的臨界軸長表達式,研究了不同長細比下臨界應力隨軸長、厚度的變化關系,為薄壁圓柱殼穩定性分析提供了一個新方法.

1 薄壁圓柱殼穩定性理論分析

1.1 幾何方程

如圖1所示,全局坐標系XYZ中,圓柱殼半徑為r,厚度為t,軸長為L.在中性面上建立一個局部坐標系x,θ和z.其中軸向x∈[0，L],圓周向θ∈[0，2π],徑向z∈[-t/2，+t/2].分別用u,v,w表示局部坐標系下點的各向位移.

圖1 全局坐標系及局部坐標系下圓柱殼參數示意圖

基于Love-Kirchhoff 假設和薄殼理論,應變位移關系為[9]

(1)

由經典梁理論可知,中性橫截面上任一點位移可表示為截面位移與截面翹曲的組合,因此u,v,w可表示成

(2)

式中,x,θ為獨立的自變量和位移振幅函數;φk(x)表示截面翹曲程度;位移函數uk(θ)表示在同一截面上的截面軸向位移.將式(2)代入式(1),根據線性應變和非線性應變的定義,將應變劃分為與截面位移u,v,w成線性關系的線性應變,以及與截面位移u,v,w成非線性關系的非線性應變2部分.整理得

(3)

(4)

1.2 能量變分方程

薄膜應變能U可通過由薄膜內力在中面薄膜變形中所做內功計算而得.取微分單元體,由其薄膜力的元功可得能量變分方程為

(5)

(6)

其中,Q11=Q22=E/(1-ν2),Q12=νQ11,Q33=G，E為彈性模量,v為泊松比.

(7)

(8)

殼體穩定性分析的首要問題是臨界荷載問題,而該問題是由前屈曲平衡性態來決定的.當殼體進入屈曲狀態,會出現非線性薄膜應力,使之偏離到屈曲后附加狀態,即非線性狀態,但附加狀態偏離屈曲狀態的位移無限小,因此,非線性項應變可以忽略不計.故而,在忽略非線性應變前提下,將上述各式代入到能量變分方程(5)中，可得

(9)

由以上分析可知,能量泛函δU是一個只與軸向u(x,θ)有關的函數,求解u(x,θ)的表達式即可得到各未知參量.由于u(x,θ)可以分解為2個正交函數uk(θ)和φk(x)的乘積,因此問題歸結為求解uk(θ)和φk(x)的表達式.

1.3 各階屈曲模態

根據uk(θ)和φk(x)的正交性可知,位移函數中u(x,θ)中位移振幅函數φk(x)表示截面翹曲程度,uk(θ)表示在同一截面上的截面位移,因此獲得uk(θ)即可得到殼體橫截面屈曲模態.

由廣義梁理論可知,若要求解能量泛函δU,矩陣Cik,Bik必須對角化.矩陣Cik,Bik對角化，即為uk,uk,θθ,uk,θθθθ滿足獨立正交[11]條件,可表示為

(10)

由正交條件可知，uk(θ)可用三角周期函數表示為

uk(θ)=rsinkθ,uk(θ)=rcoskθ

(11)

對應于一個給定的k值,uk有正弦和余弦函數2種表達形式,且兩者相互正交.由工程實際可知,相同的屈曲載荷下由于位移分叉存在2種形態類似的屈曲模態.引入同一屈曲波數m可對應于不同的階數k值,得到2種相似的屈曲模態.因此,當表達式設為正弦函數時,k=2m;設為余弦函數時,k=2m+1.因此,筒殼各階截面位移表達式為

(12a)

(12b)

圖2為薄壁圓柱殼2階～13階模態.由圖可知,在同一屈曲載荷下由于位移分叉存在2種形態類似的屈曲模態,如2階、3階同為屈曲模態,4階、5階同為扭轉模態等,也再次證明所假設的正交對稱位移函數是可取的.

此外,在實際工程中需要考慮軸向變形和前屈曲問題時,必須要得到其軸向變形模態.對比軸向壓縮模態的力學性質不難發現,在發生壓縮模態時,只存在軸向位移.因此有

ue=1,ve=0,we=0

(13)

式中,下標e表示軸向伸縮模態下的位移分量.結合式(12)可以得到,當m=0時，第1階軸壓模態為

m=0,k=1,u1=1,v1=0,w1=0

(14)

圖2 薄壁圓柱殼各階屈曲模態

柱殼屈曲時會產生此模態.因此,各階模態還必須包含一個軸對稱模態(用下標a表示),其各位移分量為

ua=0,va=0,wa=1

(15)

ut=0,vt=r,wt=0

(16)

變形圖如圖3(c)所示.至此,通過分析獲得了所有可能的屈曲模態和相應的位移函數uk(θ)的表達式.因此,下面的研究目標是位移振幅函數φk(x)的表達式.

圖3 變形圖

1.4 特征值函數

在廣義梁理論中,通過特征值求臨界屈曲應力[10]有Galerkin法和有限元法.本文為了求解薄壁圓柱殼的能量變分方程,采取Galerkin方法[11],由邊界條件決定位移振幅函數φk(x)的表達式,從而獲得能量變分方程的特征值函數,進而求得臨界屈曲應力.

1) 邊界條件為簡支、特征值函數為三角函數形式.其位移振幅函數可以設成

(17)

式中,dk為第k階模態的振幅(可由具體問題給出);n為縱向半波數;L為結構的軸向長度.

2) 邊界條件為非簡支.位移振幅函數可以設成[12]

(18)

本文主要研究均勻壓縮下的簡支薄壁圓柱殼的穩定性問題,因此,變分方程(9)變形為

(19)

整理后,特征值方程為

式中,λb為分叉屈曲下的特征值,并且只與軸向坐標L有關.將位移振幅函數代入式(20),分叉屈曲特征值λb為

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

2 薄壁圓柱殼穩定性數值仿真

通過理論推導已得到臨界應力的表達式,因此,為了驗證此方法的適用性和正確性,下文將針對具體算例,采用理論方法與數值解法進行對比,研究軸長和厚度對屈曲應力的影響.

2.1 構件尺寸比

當構件半徑和厚度為定量,隨著軸長的不斷增長,構件可劃分為極短柱殼、中短柱殼和細長柱殼3類.本文以均勻壓縮圓柱殼為研究對象,已知圓柱殼中心截面半徑r=100 mm,厚度t=1 mm.采用鋁合金材料,彈性模量E=68 GPa,泊松比ν=0.33,柱頂受到1 600 N的均勻軸向荷載,兩端簡支.

由文獻[14]可知,當L≤17.37 mm時,構件屬于極短柱殼;當L>17.37 mm時,構件屬于中短柱殼；當L>1 004.30 mm時,構件屬于細長柱殼.

2.2 圓柱殼軸長與屈曲應力的關系

基于以上理論分析,簡支邊界條件下的正弦振幅函數為φk(x),分別令縱向半屈曲波數n=1,2,得到屈曲應力σb和軸長L的關系如圖4所示.

分析圖4中n=1的情況可知:

1) 當軸長L<17.37 mm時,主要的屈服模態以軸對稱模態的形式出現,此時只有徑向位移,屈曲模態如圖3(b)所示.由構件細長比可知,構件為極短圓柱殼.極短圓柱殼下臨界屈曲應力值和對應的臨界軸長為[15-16]

圖4 屈曲應力σb和軸長L關系圖

2) 當軸長17.37

3) 當軸長L>1 000 mm,構件為細長圓柱殼,屈曲應力σb隨著軸長L的增長不斷減小,主要以撓曲模態(m=1)的形式發生屈曲.

結合n=1和n=2的情況可得:

1) 由圖4可知當縱向半屈曲波數n=2和n=1,屈曲應力σb隨著軸長L的變化趨勢完全一致,因此,n=2與n=1相比,相當于整體圖形在橫坐標方向平移一段距離.

(2) 當L<100 mm,屈曲應力存在2個相等極小值點,分別對應于軸對稱模態;當1001 600 mm時,構件只以撓曲模態(m=1)的形式發生屈曲.

2.3 壁厚與屈曲應力的關系

在2.2節中已研究了由圓柱殼軸長L引起的屈曲應力σb變化趨勢,而影響圓柱殼穩定性的因素往往還有構件的厚度t.由于本文研究對象為薄壁圓柱殼,厚度t取為1～5 mm,其他參數不變,邊界條件仍為兩端簡支.此外,采用有限元軟件建模,得到相應條件下圓柱殼的屈曲承載力值,與本文方法對比結果如表1所示.

表1 3種柱殼隨厚度變化的屈曲承載力 N/mm

由表1可知,隨著厚度的增加,屈曲承載力整體呈增大趨勢.在一定范圍內,增大厚度能夠提高結構的穩定性.通過本文推導方法所得的理論解和有限元計算結果進行對比可知,極短和中短圓柱殼屈曲承載力誤差在2%～3%之間,細長柱殼的誤差稍微偏大,但也小于5%,其主要原因可能是由于細長柱殼屈曲受圓周波數的影響.極短柱殼屈曲承載力增長幅度為三者中最大,此時厚度對于提高結構穩定性的作用最為明顯.對比于細長柱,厚度對細長柱的屈曲承載力的影響相對較小.

3 結語

基于廣義梁理論研究了薄壁圓柱殼穩定性分析方法,并采用該方法研究了軸長和厚度對屈曲應力的影響.在數值仿真中,極短圓柱殼主要以軸對稱模態的形式發生屈服,存在極小值.中短圓柱殼的屈曲主要發生在圓周波數m在2～10區段內,屈曲應力σb隨著軸長L的增長整體呈現下降的趨勢,其中也存在幾個局部極小的屈曲應力.細長圓柱殼主要以撓曲模態(m=1)的形式發生屈曲,屈曲應力σb隨著軸長L的增長不斷減小.另外,在厚度變化的情況下,厚度對極短圓柱殼的影響為三者中最大,其次為中短圓柱殼,最后為細長圓柱殼.但總體來說,一定范圍內,隨著厚度的增加,屈曲承載力都相應增加.因此,在一定范圍內,通過增加厚度提高構件的屈曲承載能力也是顯而易見的.通過與已有文獻結論、有限元分析的結果對比,證明了將廣義梁理論推廣到圓形截面進行屈曲分析是可行的,而且計算精度較高,與已有結果保持較好的一致性,這對薄壁圓柱殼穩定性分析提供了一個新的方法途徑.

)

[1] Schardt R.Verallgemeinertetechnischebiegetheorie[M]. Berlin: Springer, 1989.

[2] Davies J M, Leach P, Heinz D. Second-order generalized beam theory [J].JournalofConstructionalSteelResearch, 1994,31(2/3): 221-241.

[3] Silvestre N. Generalised beam theory to analyze the buckling behavior of circular cylindrical shells and tubes [J].Thin-WalledStructures, 2007,45(2): 185-198.

[4] Ranzi G, Luogo A. A new approach for thin-walled member analysis in the framework of GBT [J].Thin-WalledStructures, 2011,49(11): 1404-1414.

[5] Dinis P B, Camotim D, Silvestre N. GBT formulation to analyse the buckling behaviour of thin-walled members with arbitrarily ‘branched’ open cross-sections [J].Thin-WalledStructures, 2006,44(1): 20-38.

[6] Basaglia C, Camotim D, Silvestre N. Global buckling analysis of plane and space thin-walled frames in the context of GBT [J].Thin-WalledStructures, 2008,46(1): 79-101.

[7] Basaglia C, Camotim D, Silvestre N. Post-buckling analysis of thin-walled steel frames using generalised beam theory (GBT) [J].Thin-WalledStructures, 2013,62: 229-242.

[8] 李開禧. 彈性薄壁桿件的翹曲[M]. 北京:中國建筑工業出版社,1990.

[9] Ju G T, Kyriakides S. Bifurcation and localization instabilities in cylindrical shells under bending-Ⅱ： predictions [J].InternationalJournalofSolidsandStructures, 1992,29(9): 1143-1171.

[10] Camotim D, Silvestre N, Goncalves R,et al. GBT-based structural analysis of thin-walled members: overview, recent progress and future developments [J].EngineeringStructures,MechanicsandConstruction,SMCD, 2006,14-17: 187-204.

[11] Silvestre N, Camotim D. GBT buckling analysis of pultruded FRP lipped channel members [J].ComputerandStructures, 2003,81(18/19): 1889-1904.

[12] Silvestre N, Camotim D. Distortional buckling formulae for cold formed steel C and Z-section members: part Ⅰ-derivation [J].Thin-WalledStructures, 2004,42(11): 1567-1597.

[13] Singer J, Arbocz J, Weller T.Bucklingexperiments-experimentalmethodsinbucklingofthin-walledstructures[M]. New York, USA: Wiley, 2002.

[14] 陳興華,龍連春.軸壓薄壁圓柱殼彈性失穩承載力分類及對比[C]//北京力學會第15屆學術年會論文摘要集.北京,2009:215-216.

Chen Xinghua, Long Lianchun. Thin-walled cylindrical shells’ elastic buckling bearing capacity of classification and comparison with axial compressive [C]//MechanicsofBeijingtheFifteenthAnnualMeetingofAbstracts. Beijing, 2009:215-216.(in Chinese)

[15] Timoshenko S P, Gere J M.Theoryofelasticstability[M]. New York, USA: McGraw-Hill, 1961.

[16] Brush D O, Almroth B O.Bucklingofbars,platesandshells[M]. New York, USA: McGraw-Hill, 1975.