載人航天器柔性機械臂的動力學建模方法

劉志全 危清清 王耀兵

（北京空間飛行器總體設計部，北京 100094）

1 引言

空間機械臂是實現航天器在軌組裝和空間維修等作業的重要支持設備。從20世紀70年代起，加拿大、日本、歐洲等相繼開展了空間機械臂的研究，并成功將空間機械臂應用在多種載人航天器上。加拿大SPAR公司研制的航天飛機遙操作機械臂系統（Shuttle Remote Manipulator System，SRMS）［1-2］于1981年應用于美國的航天飛機上。SPAR 公司的空間站遙操作機械臂系統（Space Station Remote Manipulator System，SSRMS）［3］和日本實驗艙遙控機械臂系統（Japanese Experiment Module Remote Manipulator System，JEMRMS）［4］及歐洲機械臂（European Robotic Arm，ERA）［5-9］也分別于2001年、2008年 和2013年應用到“國際空間站”上。中國未來的空間站也將應用空間機械臂執行相關空間作業任務［10］。

應用于載人航天器上的大型空間機械臂的質量小、負載質量大、活動范圍大的設計需求決定了機械臂一般設計為細長結構，而細長結構和大質量的末端負載使得機械臂系統頻率一般為零點幾赫茲，柔性特征十分明顯，因此帶來的動力學與控制問題影響著空間機械臂在軌應用的效果。SRMS的應用結果表明［1］：SRMS約有工作時間的30%被用于等待柔性機械臂振動的衰減，可見，空間柔性機械臂大柔性的特點嚴重影響了空間柔性機械臂的工作效率。

針對上述問題，國內外相關研究部門展開了空間機械臂柔性多體動力學［2］和關節的動力學的研究，基于上述研究工作，本文結合未來中國空間柔性機械臂工程應用所面臨的技術問題，對空間柔性機械臂多體動力學、關節的動力學建模方法進行分析，旨在建立更為準確的機械臂系統動力學模型，以期更準確地反映空間柔性機械臂動態性能，由此設計和驗證的控制系統可有效縮短柔性機械臂在軌運動過程中的振動衰減時間，提高空間柔性機械臂的控制精度，促進空間柔性機械臂在航天器工程中的應用。

圖1 航天飛機遙操作機械臂系統（SRMS）Fig．1 Shuttle Remote Manipulator System

2 柔性機械臂多體動力學的建模方法

多體動力學研究由多個柔性體或剛體所組成的復雜機械系統在經歷大范圍空間運動時的動力學行為［11］。空間柔性機械臂是典型的多體系統［12-13］，由機械臂臂桿、關節、控制器等組成，圖1展示了加拿大SPAR 公司的SRMS機械臂的組成［14］。為了給關節提供準確的輸出力矩命令、預測機械臂關節及末端的軌跡，須要建立并求解機械臂的多體動力學模型［15］。常用的多體動力學建模理論主要有牛頓-歐拉法［13，16］、拉格朗日法［11，17］和kane法［12］等，這幾類方法各有所長，目前國外載人航天器機械臂廣泛應用的動力學建模理論主要有牛頓-歐拉法和拉格朗日法；對柔性體進行離散化處理的方法主要有集中參數法（LMM）、有限元法（FEM）和假設模態法（AMM）［18-19］；剛柔耦合系統動力學建模方法主要有運動-彈性動力學法與混合坐標法［16，19-20］。

為了預測并驗證SRMS的動力學性能，加拿大SPAR 公司從1974年起，耗時18個月建立了兩套多體動力學仿真系統：實時仿真設備（Real-Time Simulation Facility，SIMFAC）和非實時仿真設備（ASAD）［21-22］。ASAD 采用集中參數法將機械臂簡化為由7個集中質量體組成的開環鏈（open kinematic chain）（如圖2所示），每個關節被簡化為一個桿和一個轉動副，桿的兩端各連接一個扭簧用來模擬關節殼體的扭轉剛度。ASAD 用幾段具有集中質量的懸臂梁來計算臂桿的模態特征，計算中只涉及了臂桿的彎曲變形而忽略了臂桿的剪切變形。

SPAR 公司在機械臂的每個桿與前后桿的連接處固連兩個坐標系（如圖3 所示），其中O0X0Y0Z0是基座坐標系（與航天器本體相固連的坐標系）；Oi-1Xi-1Yi-1Zi-1和Oi-1X′i-1Y′i-1Z′i-1是與桿i-1相固連的兩個坐標系；OiXiYiZi和OiX′iY′iZ′i是與桿i相固連的兩個坐標系。通過坐標系Oi-1X′i-1Y′i-1Z′i-1和OiXiYiZi的坐標變換矩陣，建立桿i-1與桿i的相對運動關系。這樣，由桿i-1的運動參數（含角位移、角速度和角加速度）可以遞推得到桿i的運動參數，分析桿件間的作用力，利用牛頓-歐拉法得到機械臂動力學模型的一般形式：

式中：Fj，i和Tj，i分別為桿j對桿i施加的合力與合力矩（j對應于圖3中i-1和i＋1），顯然，Fj，i＝-Fi，j、Tj，i＝-Ti，j；rCij則為坐標系OjXjYjZj的坐標原點Oj到質心Ci的矢量；Ji和mi分別為桿i的轉動慣量和質量；vi和aCii分別表示桿i質心Ci的平動速度和加速度；˙θi和¨θi分別為桿i的角速度和角加速度。

圖2 SRMS柔性模型Fig．2 Flexible model of SRMS

圖3 牛頓-歐拉法動力學模型Fig．3 Newton-Euler dynamic model

ASAD 根據末端軌跡規劃計算機械臂開環系統各個部件的運動參數，采用運動-彈性動力學法把機械臂看作是運動的彈性系統，在描述機械臂大范圍運動時，將臂桿視為剛體；描述機械臂變形時將臂桿視為柔性體。對應的，ASAD 動力學模型由兩部分組成，一部分用于描述柔性體的高頻振動，另一部分用于描述剛體的低頻運動。ASAD 把外力和剛體慣性力施加到柔性臂桿上計算柔性體的變形，并將此變形與臂桿剛性運動疊加，在此基礎上求出機械臂的運動學和動力學參數。這種算法簡化了動力學求解的難度，但是忽略了柔性體變形與剛體運動的相互影響，這也是ASAD 仿真結果與SRMS遙測數據之間總存在較大誤差的原因之一［1，22-23］。

20世紀90年代中期，為了輔助組裝和維護“國際空間站”上的俄羅斯艙段，荷蘭Fokker公司開始研制歐洲機械臂并開發了歐洲機械臂的多體動力學仿真系統（ERA Simulation Facility，ESF）［24-25］，該系統采用臂桿的前兩階彎曲模態與第一階扭轉模態來表征臂桿柔性特征；同時將關節簡化為非線性扭簧來表征關節剛度特征，關節摩擦力矩模型則采用如圖4所示的模型［26］，為了方便計算，ESF 將實驗測量的動摩擦力矩作為常值處理。

圖4 關節摩擦力矩模型Fig．4 Joint friction model

與ASAD 一樣，ESF 也是采用運動-彈性動力學法建立歐洲臂柔性多體動力學模型，也存在同樣的問題，即忽略了柔性體變形與剛性運動的相互影響［25］。

2001年應用于“國際空間站”的7 自由度機械臂SSRMS，利用其冗余自由度靈巧避障、避奇異點，改善了各關節的力矩狀況，這也是SSRMS 優于SRMS，ERA，JEMRMS 的 地 方［27-28］。文 獻［29］采用拉格朗日法建立SSRMS 多體動力學模型，采用神經網絡法來優化軌跡及各個關節的輸出。

定義與各個關節相固連的坐標系（如圖5 所示），并將每個關節的轉角定義為廣義坐標，即可得到各個部件之間的坐標變換矩陣和各個部件間的運動關系。通過系統動能和系統勢能可建立機械臂的動力學模型：

式中：Q為機械臂的系統動能；V為機械臂的系統勢能；Ti為關節i的輸出力矩；L為拉格朗日函數。

圖5 拉格朗日法動力學模型Fig．5 Establishment of Lagrange dynamic model

在圖5中，θi和θi＋1分別為桿i和i＋1相對于前一桿的轉動角度，˙θi和˙θi＋1則為對應的角速度。

混合坐標法將空間機械臂臂桿假設為彈性連續體，在臂桿上建立浮動坐標系（坐標系與柔性臂桿固連，柔性臂桿的變形使坐標系的坐標原點位置及坐標軸方向都隨之改變，故稱為浮動坐標系），則柔性臂桿上任意一點的位置坐標由浮動坐標系的剛體坐標與柔性體相對于浮動坐標系的模態坐標疊加得到。相比于SRMS的動力學模型，混合坐標法建立的動力學模型描述了空間機械臂系統大范圍剛性運動與柔性振動的相互影響，更加接近實際情況。

20世紀90年代中期，日本宇宙航空研究開發機構（JAXA）也開展了空間機械臂JEMRMS的多體動力學研究，最初也是利用有限元法計算模態特征值［30］。JEMRMS主要實現電池插拔等靈巧操作，最大操作載荷只有7000kg，JEMRMS臂桿設為剛性，只考慮關節柔性，這樣與SRMS、ERA、SSRMS等有很大不同。

2007年，文獻［31］認為，簡單將SSRMS臂桿假設為末端自由的懸臂梁來建立SSRMS動力學模型并不能反映實際情況，于是JSC 采用拉格朗日法建立一套SSRMS模擬臂的動力學模型，在求解柔性臂桿模態方程時，將末端邊界條件中加入了末端質量影響因子，以表征不同末端質量下臂桿的模態特性，經過實驗驗證，修正末端邊界后的動力學模型更加接近實驗結果。

2009年，文獻［32-33］利用牛頓-歐拉法建立了含空間站、機械臂及負載的多體系統動力學模型，其中柔性臂桿模型也是通過混合坐標法建立的；針對關節與機械臂末端振動抑制問題提出了一種控制策略，但其機械臂系統只考慮了一個關節，動力學模型比較簡單。

上述空間機械臂動力學建模方法的比較見表1。

表1 空間機械臂動力學建模方法比較Table 1 Comparison between different dynamic modeling methods of space manipulator

文獻［12］認為采用拉格朗日法建立的空間機械臂動力學模型比牛頓歐拉法建立的動力學模型規模小，計算效率更高。對于柔性多體系統，采用混合坐標法建模考慮了剛性運動與柔性振動的耦合，更符合實際情況。因此，推薦用拉格朗日法建立空間機械臂多體動力學模型，同時用混合坐標法描述臂桿柔性變形與剛性運動的耦合。

3 柔性機械臂關節的動力學建模方法

空間機械臂關節是空間機械臂提供動力、感知位置和機械連接的重要部件，是保證機械臂運動范圍、運動精度和運動平穩性的關鍵。空間機械臂關節主要由動力源、傳動裝置、傳感器和控制器等組成。

空間柔性機械臂關節的動力學建模是指建立關節輸出力矩與關節輸出運動參數的聯系。關節動力學模型與關節傳動裝置有關，長壽命大型空間機械臂關節一般采用行星齒輪傳動系統作為主要傳動裝置，圖6為某空間機械臂關節齒輪傳動系統。

圖6 某空間機械臂關節齒輪傳動系統Fig．6 A gear transmission system of space manipulator joint

目前，針對空間柔性機械臂關節動力學建模研究主要有兩種思路：

（1）基于簡化模型的空間柔性機械臂動力學研究。此方法將柔性關節簡化成扭簧，不考慮傳動裝置內部動力傳動關系，只考慮關節輸出力矩與關節輸出運動參數的關系。

（2）基于精細模型的空間柔性機械臂動力學研究。此方法深入分析傳動裝置各個部件間的受力、運動關系，考察部件與部件之間的各種非線性影響因素，建立整個關節的動力學模型，由此得到關節輸出力矩與關節輸出運動參數的關系。

3．1 基于簡化模型的動力學建模方法

關節動力學的早期研究是將關節假設為線性扭簧，此模型無法涵蓋齒輪傳動系統的摩擦及間隙等非線性因素的影響。1982年，文獻［2］在研究SRMS關節動力學時，將關節簡化為一個非線性扭簧，該扭簧剛度曲線由一段直線與一段拋物線組成（如圖7所示），其中直線段斜率為關節輸出參數穩定時的關節剛度，直線段延長線與橫軸的交點即為關節間隙角的一半，拋物線與直線交點（δ1，T1）則通過實驗數據擬合獲得。此剛度模型綜合考慮了剛度與間隙的影響，并通過實驗數據擬合修正，可信程度較大。

文獻［34］在關節模型中引入摩擦力矩的影響，將電機自身的摩擦力矩與關節傳動系統的摩擦力矩區別對待，關節摩擦力矩模型簡化為圖4所示的庫侖摩擦模型，忽略非線性影響。文獻［30］也將JEMRMS關節簡化為此類彈簧-阻尼模型。

圖7 SRMS關節剛度模型Fig．7 Joint stiffness model of SRMS

2008年，文獻［35-36］在建立柔性機械臂動力學模型時也將關節簡化為非線性扭簧，并在此基礎上建立關節控制系統。

關節簡化模型忽略了實際關節中復雜的齒輪構形與受力關系，僅考慮關節宏觀動力學特點。以此建立的關節控制系統結構簡單。簡化模型對關節的非線性剛度特別是齒輪嚙合剛度的時變特性無法準確描述，也不能解釋關節的高頻振動等現象，模型的各個參數均需通過實驗測量獲得，代價較大，簡化模型對關節零部件的機械系統設計、減重及優化指導意義不大，難以獲得關節內部傳動的動力學特性。然而，由于該模型簡單且能反映關節的宏觀運動特點，所以在單關節控制系統的設計中應用較多。

3．2 基于精細模型的動力學建模方法

為了準確預測機械臂的動力學行為，要用更高精度的機械臂關節動力學模型來反映真實動力學特性，須要建立更加細化的、全面考慮關節非線性影響因素的關節模型。

多級行星齒輪傳動系統動力學建模一般參照齒輪的動力學建模方法［37］。影響齒輪嚙合的非線性因素主要包括時變嚙合剛度、傳動誤差、齒側間隙和嚙合阻尼（圖8）。

圖8 齒輪精細動力學模型Fig．8 Detail dynamic model of gears

（1）時變嚙合剛度［38］。嚙合剛度即輪齒抵抗沿嚙合線方向變形的能力。由于輪齒嚙合位置的變化及重合度的影響，齒輪嚙合剛度呈周期性變化。

（2）傳動誤差［39］。齒輪加工、裝配過程中產生的幾何偏心及運動偏心等誤差，造成的齒輪機構從動輪實際轉角與理論轉角之差即為傳動誤差，此誤差屬于隨機誤差。

（3）齒側間隙。齒輪加工時造成的輪齒變薄及裝配中齒輪副中心距的改變，使得嚙合輪齒對之間存在間隙。齒側間隙一般由分段函數表示。

（4）嚙合阻尼。由于齒面摩擦等引起的阻礙齒輪副相對運動的能力。

1993年，文獻［40］在設計一個容錯關節時，采用精細模型分析了齒輪傳動系統各個齒輪間的嚙合關系，計算了關節頻域特性，計算結果與實驗數據基本吻合。然而，為了簡化計算，此模型只考慮了齒輪扭轉剛度與慣性等線性因素，將嚙合剛度當作常值處理，忽略了齒側間隙等非線性因素的影響。

2010年，文獻［41-42］將這種方法引入到多級行星齒輪傳動系統動力學建模中，采用集中參數法分析了齒輪傳動系統中每對齒輪的時變嚙合剛度、齒側間隙、傳動誤差及嚙合阻尼的影響，建立了細化關節模型。

細化關節模型中，輪齒單齒嚙合剛度由國際標準ISO6336提供的經驗公式計算得到，雙齒或多齒嚙合情況下的嚙合剛度根據重合度的大小計算得到，雙齒或多齒嚙合剛度視為單齒嚙合的并聯系統，由此獲得齒輪傳動嚙合剛度的周期性時變特性［42］。在該模型中，傳動誤差視為齒輪轉角的正弦函數，齒側間隙用雙曲正切函數來模擬。

仿真結果表明，齒側間隙是造成關節諧振的重要因素，在建立關節傳動系統動力學模型時必須考慮。然而，關節精細模型的計算精度雖有了較大提高，但是求解計算量大（每個關節模型由11個2階偏微分方程組成），不能直接應用，需要予以簡化。

2013年，文獻［43］基于關節精細模型對某多級行星齒輪傳動的關節齒輪傳動系統剛度進行了分析，分析結果表明，關節多級行星齒輪傳動系統高速級與中速級剛度降低90%時，關節傳動系統總剛度僅降低1．85%，關節傳動系統的剛度主要受低速級影響，高速級則可當作剛性對待，這樣簡化后每個關節模型的規模將降低60%以上。

基于以上分析，采用精細模型來研究空間柔性機械臂關節動力學特性時，重點應放在傳動系統的低速級上。同時，還須通過相關實驗獲得齒輪非線性嚙合剛度、傳動誤差和間隙等參數來修正關節動力學模型。

4 結束語

基于對國內外載人航天器柔性機械臂動力學建模方法的綜合分析，得出如下幾點結論：

（1）空間柔性機械臂多體動力學可采用拉格朗日法建模，以利用拉格朗日法建模程序化、規范化、模型規模小的優點；宜采用混合坐標法來描述臂桿剛性運動與柔性變形的耦合，更準確地描述機械臂的動力學行為。

（2）應建立含時變嚙合剛度、間隙及傳動誤差等非線性因素的關節精細動力學模型，使關節動力學行為的描述更準確。

（3）建立關節精細動力學模型時，宜將重點放在齒輪傳動系統的低速級上，可忽略高速級柔性，以簡化關節精細模型。

（4）關節動力學模型建立時需要輔以實驗手段，用關節參數的測試結果修正關節動力學模型。

（5）空間柔性機械臂多體動力學模型和關節動力學模型的準確建立，有利于有的放矢地設計控制系統，提高機械臂末端定位精度，降低末端振動衰減時間。

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