中國大數進位法之歷史

田 淼 郭金海

（中國科學院自然科學史研究所，北京 100019）

在中國古代，所謂大數是指億以上的數字。中國有著完整的大數進制，該體系確定的年代已不可考，很多古書將大數進位法的確立歸于黃帝，顯然不可信。《國語》中有“一純二精，三牲四時，五色六律，七事八種，九祭十日，十二辰以致之；百姓千品，萬官億丑，兆民經入，賅數以奉之”［1］之語，可見當時大數的進位名稱早已確定，且與后世傳承下來的體制完全一致。屬名東漢徐岳的《數術記遺》①給出三種進位法：

數有十等，及其用也，乃有三焉。十等者，億、兆、京、垓、秭、壤、溝、澗、正、載；三等者，謂上中下也。其下數者十十變之，若言十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京也；中數者萬萬變之，若言萬萬曰億、萬萬億曰兆，萬萬兆曰京也；上數者，數窮則變，若言萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京也。［2］

從此文獻分析，中國古代大數進位法的變化很可能是由于現實中涉及的數字的增大而演變的，由于基于十進的體系不能滿足需求而發展出以萬萬進的中數進制，其后又發展出以平方位進位的上數進制。《孫子算經》②中亦有：“凡大數之法，萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰陔，萬萬陔曰秭，萬萬秭曰壤，萬萬壤曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載。”［3］與《數術記遺》中的“中數”法進位一致。元代數學家朱世杰所撰《算學啟蒙》（1299）中載有一含更多單位的大數進制表，“大數之類，一、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、萬萬曰億，萬萬億曰兆，萬萬兆曰京，萬萬京曰陔，萬萬陔曰秭，萬萬秭曰壤，萬萬壤曰溝，萬萬溝曰澗，萬萬澗曰正，萬萬正曰載，萬萬載曰極，萬萬極曰恒河沙，萬萬恒河沙曰阿僧祗，萬萬阿僧祗曰那由他，萬萬那由他曰不可思議，萬萬不可思議曰無量數。”［4］此進位體系較《數術記遺》和《孫子算經》多出六個數字單位，使數字的表達能力進一步加強，其中后面的五個單位名稱明顯來自佛經，這些新單位隨著佛學經典在中國的流傳而開始使用，但此進位體系確立的最早時間仍需進一步研究確定。

古代文獻中涉及大數單位的記載并不少見。各類史書中多有含億及其后單位的數字，最早的傳世數學著作《九章算術》便含以億為單位的數字，各類史書中也多有含單位“億”的數字。雖然有不同的進位體系，但我們所見的典籍中對億的界定較為統一，多取萬萬為億，十進及平方進的大數進制很少使用。然而，億以上的單位的界定則并不一致。

除前文所引的三種進制外，還存在以萬進的大數進位法。唐孔穎達的《禮記疏》中有：“億之數有大小二法，其小數以十為等，十萬為億，十億為兆也；其大數以萬為等，數萬至萬是萬萬為億，又從億而數至萬億曰兆，億億曰秭。”［5］萬萬進與萬進兩種進位法都被用于大數的表達。像數學著作和音律學著作中含有大量超過兆的數值，如宋邵雍（1011—1077）《觀物外篇》中所含大數至“二百四秭六千九百八十萬七千三百八十一垓五千四百九十一萬八千四百九十九兆七百二十萬億”［6］，以現代表示法為：20，469，873，815，491，849，907，200，000億，即為萬萬進。清代數學家方中通（1634—1698）在其《數度衍》（1661）卷首中給出一個完整的以萬進的大數進制體系：“下數者十十變之，十萬曰億，十億曰兆，十兆曰京，至載畢以十進；中數者萬萬變之，萬萬曰億，萬億曰兆，萬兆曰京之類也，上數者，數窮則變，萬萬曰億，億億曰兆，兆兆曰京之類也。”［7］稍后于方中通的梅文鼎（1633—1721）在表達大數時亦取萬進。《數理精蘊》（1723）中采取大數萬進制其單位名稱與《算學啟蒙》中給出的名稱一致。該書挾敕編之名對其后的數學研究和教育產生了很大的影響，但其后的著作中，億以上的大數進制仍不統一。一般來說，清以前的著作中億以上的數字單位間主要以萬萬為進，清以后則萬進居多。

民國期間，由于古代進制的不統一及以四位或者八位遞進的進位方式與國際通行的三位分節法的不同，大數命名問題引起學界的關注及爭論。國民政府教育部、全國度量衡局、中央研究院等部門都曾專門組織學者進行討論，并先后給出建議案。這些建議案主體均取億以下以十進位，至百萬為兆，其后則采取千進，以與國際通用的數字三位分節一致，這樣，兆以上的各個單位便都可與英文單位名對應。然而，一直有學者和科學家對此持反對意見，如1933年4月，教育部剛剛制定提案便在其主辦的天文、數學、物理討論會上被修訂為“個、十、百、千、萬用十進法，萬以上億、兆、京、垓等用萬進法”，1944年9月，國民參政會接受張伯苓的建議，通令采用新的大數命名標準，采取四位進制，于萬以上僅設單位億，等等。民國以后各方對大數單位認定的歧議，導致了當今兆為百萬，億為萬萬的與傳統計數單位次序相反的現象。

1949年以后，大數名稱及進制仍較混亂。1986年12月31日，《人民日報》公布《關于出版物上數字用法的試行規定》，規定“4位和4位以上的數字，采用國際通行的三位分節法”，“4位以上的數字，尾數零多的，可改寫為以萬、億作單位的數”。對此規定，學界亦不乏反對的聲音③。隨著信息技術的發展，大數已不僅出現于科學家及統計學家等的研究和工作之中，而且開始進入日常生活，確立億、兆以上的大數單位名及進制的問題再一次引起廣泛關注。

注釋

①《數術記遺》，原書屬名為：徐岳撰，甄鸞注。徐岳為東漢時人，甄鸞為北周人。戴震認為該書為甄鸞偽托徐岳之名所撰，數學史家錢寶琮采戴說。郭書春認為該書正文應為徐岳所著，現《數術記遺》的年代及作者仍未完全解決。

②《孫子算經》，作者姓名與年代不詳。錢寶琮認為該書作于公元400年前后。

③關于民國至當代的大數進制，詳見參考文獻［8］。

［1］國語.四庫全書本.卷18.

［2］徐岳撰，甄鸞注.數術記遺.宋嘉定五年刊本.北京：文物出版社，1980影印.

［3］孫子算經.宋嘉定五年刊本.北京：文物出版社，1980影印.卷上.

［4］［元］朱世杰.算學啟蒙.1839年刊本.總括.

［5］［漢］鄭玄注，［唐］陸德明音義，［唐］孔穎達疏.禮記注疏.四庫全書本.卷27.

［6］［宋］邵雍.觀物外篇.四庫全書·皇極經世書本.上.

［7］［清］方中通，數度衍，四庫全書本.卷首上.

［8］郭金海.民國時期的大數命名及爭議［J］.中國科技術語，2012，14（2）：44-51.