嵌巖樁端部約束問題的辛彈性分析

姜忠宇，江 莉，趙 創

(1.安徽工程大學 建筑工程學院，安徽 蕪湖 241000；2.安徽工程大學 力學重點實驗室，安徽 蕪湖 241000)

嵌巖樁以其低沉降、高承載力、工程適應性強等優點，在高層建筑、重型廠房及橋梁工程中得到了廣泛的應用[1]。但由于其承載力大，試驗耗費高，難以進行破壞性試驗，制約了人們對嵌巖樁破壞模式的認識。而且樁基的性質多種多樣，樁基強度取決于巖體強度、嵌巖深度與樁徑等，因而樁基的破壞模式與承載力也有所不同，對不同樁基應有不同破壞模式[2]。張建新[3]等對嵌巖樁的荷載試驗研究表明，嵌巖樁的破壞特性和樁身與樁周巖體的相對強度與剛度有關；當樁身承載力比基巖承載力低時，破壞發生在樁體；當樁身承載力比基巖高時，破壞發生在樁底基巖及樁與周圍巖土界面上。因而，探究樁端處的應力與端部約束間的關系，對提高樁的承載力，改善端部應力分布有至關重要的影響。以往參考資料多從實驗或數值模擬的角度分析端部約束效應，沒有從理論上揭示其本質規律，給出合理的解釋[4-6]。

目前盡管有許多精確且易于使用的有限元計算程序，使得嵌巖樁應力變形分析變得更加容易；但追求基本理論解依舊是工程技術人員堅持不懈努力的目標[7]。這是因為理論解可以為設計工程師提供一個寶貴的手段對數值分析結果進行評估，而且理論解可以更直觀地揭示各變量之間的關系[8]。辛彈性力學通過將原來的位移變量與其對偶變量組成的狀態空間引入彈性力學，完成了拉格朗日體系向哈密頓體系的過渡，從傳統的歐幾里得空間進入到了辛空間，使得對偶的混合變量方法進入到應用力學的廣大領域[9]。應用辛彈性力學方法可以進行理性的推導求解，而不必采用傳統的應力函數；針對端部復雜邊界，只用圣維南原理予以覆蓋的部分，也能推導出理論解[10]。

1 基本力學原理

圖1 平面矩形區域

根據平面彈性力學的靜力平衡方程、幾何方程和物理方程，得到哈密頓對偶方程組：

(1)

引入相空間向量v=(q,p)T，式(1)可以表示為

(2)

式中，H為哈密頓矩陣;f為非齊次項。

2 辛彈性力學求解

2.1 齊次方程的分離變量法

討論算子的性質與外荷載無關，即先討論式(2)的齊次線性微分方程

(3)

及齊次側邊界條件

(4)

采用分離變量法求解，即令v(z,x)=ξ(z)ψ(x)，并將其代入齊次方程，可得ξ(z)=eμz和本征方程

Hψ(x)=μψ(x),

(5)

式中，μ表示沿z的本征值；ψ(x)表示本征向量。

該方程的本征解可分為兩類，一類為零本征值的本征解(全局解)，它們不隨坐標z的變化而衰減，是問題的基本本征解，對應的是圣維南問題的解(即邊界條件通過等效形式提出)；另一類為非零本征值的本征解(局部解)，它們隨坐標z的變化而衰減，對應的是圣維南原理所覆蓋的部分(即嚴格滿足邊界條件下的解)。

2.2 零本征值的本征向量

由于哈密頓矩陣H不是對稱陣，因此可能出現重本征值，而且還可以有約當型的本征向量。μ=0零本征解是一類特殊的解，有特殊的物理意義，代表了圣維南問題的解。約當型零本征值存在兩條本征解鏈。

Hψ(x)=0,

(6)

基本本征向量和約當型本征向量

(7)

約當解并不是本征向量，對應原本征問題的本征向量實際上是

(8)

這6個零本征值的本征向量組成了一組共軛辛正交的向量組，每個本征向量都有相應的物理含義，這些本征解就是二維圣維南問題的基本解，可以張成一個完備的零本征值辛子空間。

2.3 非零本征值的本征向量

在討論邊界上的局部效應或域內有荷載突變時，零本征解就不能有效地描述問題了，這時需要更精確的解來描述邊界效應，這就是非零本征解μ≠0。滿足齊次方程和齊次側邊界條件的通解可直接求出[11]：

(9)

從結果中可以看出，A組、C組的解是對于z軸為對稱變形的解，而B組、D組的解對于z軸為反對稱變形的解。再根據方程存在非平凡解以及齊次側邊界條件，可以確定出A、B、C、D各組的系數。

(10)

非零本征值μn一般是復數，對于每個μn可以構造對應的本征函數，這些本征函數隨著離開邊界的距離而衰減，符合圣維南原理。解的構造如下：

vn=eμnzψn,

(11)

式中，μn是本征值；ψn是對應的本征向量。根據μ實部符號的不同，劃分為兩類：符號為正的α類解沿z軸的負方向衰減；符號為負的β類解沿z軸的正方向衰減，它們反映了不同端部的分布情況。

2.4 非齊次方程的特解

由于本征解之間存在辛正交歸一關系，根據本征向量展開定理，將非齊次方程的非齊次項按本征解展開可得：

(12)

非齊次方程特解為

(13)

2.5 邊值問題

方程的廣義解由零本征解、非零本征解以及非齊次特解三部分構成[12]。

(14)

用Hamilton混合能變分原理求解待定參數ai。Hamilton混合能變分式為:

(15)

(16)

與圣維南原理不同的是，變分式從能量的角度給出了一個更加合理的邊界條件。特別地，通過非零本征向量的引入，在固定端附近的位移和應力分布可以得到更加精確的分析結果。

將式(14)代入式(16)，可以得到關于δai的變分方程，對于任意的δai都成立，由此得到一個關于ai的N維線性方程組[13]：

(17)

表達式中的矩陣元素為

3 模型計算及實例

嵌巖樁的直徑1 m、長度10 m，樁底進入持力層深度0.8 m，土層與持力層的交界面即為巖-土交界面。樁身材料選用C30混凝土，其彈性模量30 GPa，泊松比0.2；粘土層的容重γ=18.4 kN/m3，泊松比vr=0.38。

嵌巖樁受力簡圖如圖2所示。樁側壓力沿樁長按線性變化。靜止水平側壓力系數K0=0.45，荷載集度qz=K0γh=82.8 kN/m，樁側摩阻力荷載集度qt=25 kN/m。樁頂豎向線荷載Pd=4×103kN/m。

圖2 嵌巖樁的受力圖

依據計算參數分別采用有限元ANSYS軟件和辛彈性力學方法在Matlab中進行求解。用辛彈性力學方法計算的嵌巖樁位移場和應力場云圖如圖3所示。為作比較給出了ANSYS計算的有限元結果如圖4所示。通過對比可以看出，兩種方法均能對嵌巖樁力學問題進行全面的分析，且計算結果基本一致，云圖分布大體相同(樁身處云圖的差異是由于兩種方法色帶選取不同造成的，不影響計算數值)，保證了辛算法計算結果的可靠性。

圖3 辛彈性力學計算的嵌巖樁位移場和應力場

圖4 有限元方法計算的嵌巖樁位移場和應力場

進一步詳細地繪制了兩種方法在嵌巖樁巖-土交界面處的應力值如圖5、圖6、圖7所示。由圖5、圖6、圖7比較可以看出，兩種方法的變化趨勢一致，在邊角處應力值都有較大突變，這正與工程實際中的角點處應力集中現象相吻合。圖5～圖7中辛彈性力學解答的波動主要是截取非零本征向量數目造成的，隨非零本征向量數目的增加，曲線將趨于平滑。辛算法不僅能準確地計算出問題的全局解，也能合理有效地處理邊界條件得到問題的局部解，在全場范圍內對問題進行精確、可靠的分析。

圖5 比較兩種算法在巖-土交界面處的σx 圖6 比較兩種算法在巖-土交界面處的σy

圖7 比較兩種算法在巖-土交界面處的τxy

4 結論

傳統彈性力學解析法通常采用圣維南原理，將復雜邊界條件通過靜力等效形式提出，雖然可以準確地計算出彈性體的全局解，卻無法計算出嚴格滿足邊界條件的局部解，這使得彈性體在邊角處的應力數值與工程實際不相符。辛彈性力學有別于傳統的逆解法和半逆解法，它能夠在嚴格滿足邊界條件的基礎上，計算出圣維南原理所覆蓋部分的解(這部分解正是傳統方法所缺失的解)，通過一步步地理論推導得到最終結果，它更加深刻地揭示彈性問題的本質。通過算例證實了辛方法是一種合理、有效的解析方法，為解決平面矩形域問題提供了一套新的理論方法。

利用辛算法可以計算出平面矩形域的基本本征向量，這些基本本征向量張成一個完備的零本征值辛子空間，再根據具體的兩端邊界條件，確定零本征向量和非零本征向量的待定系數，最后疊加上非齊次問題的特解，即可求出嵌巖樁端部約束問題的精確解。算例中辛算法精確地描繪出嵌巖樁在土-巖交界面處的應力分布情況，其計算結果與有限元軟件模擬結果一致。這為深入研究嵌巖樁的破壞模式、提升承載力等，提供了新理論、新思路。

辛算法的不足之處在于計算推導過程繁瑣，僅能計算一些規則區域、簡單邊界的特殊問題，對于一般工程問題適用性差。有限元法是一種數值算法，適用性強，它把復雜的整體結構離散為有限個單元體，在單元內用形函數插值近似表達單元內部任意一點的結果，缺點是無法準確找出各個變量之間的相互關系，兩種方法如能有機結合，則對解決工程實際問題大有幫助。