淺析分類思想在初中幾何中的應用

張麗英

摘 要：分類討論是將研究對象的全體按照不重疊、不遺漏的標準，劃分為若干部分分析研究，再把其分析研究的結果綜合起來，從而使問題得以解決。由于考察問題的角度、方法不同，同一問題的解決可以有不同的分類標準。分類討論思想其實質(zhì)是化整為零，分而治之。它是學習和研究數(shù)學問題的一種重要的思想和方法。

關鍵詞：分類思想；等腰三角形；相似三角形

我國著名數(shù)學家、中國科學院院士吳文俊先生是這樣評價中國古代數(shù)學的：“中國古代數(shù)學，乃是機械化體系的代表，與古希臘數(shù)學之演繹推理典范，其實各具特色，各為數(shù)學發(fā)展作出了巨大的貢獻。”從中足以看出中國古代數(shù)學思想在世界數(shù)學發(fā)展史上的地位和作用。

數(shù)學中的分類討論方法，就是將數(shù)學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數(shù)學方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性。分類思想可不像一般的數(shù)學知識那樣，通過幾節(jié)課的教學就可讓學生掌握應用。而是要根據(jù)學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認知水平，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富自身的內(nèi)涵，從而達到利用數(shù)學分類討論方法來解決問題的目的。中考對分類思想考查的一個重要目的是檢測我們的理性思維，在運用分類討論思想時，應注重理解和掌握分類的原則，方法與技巧，做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分層別類不重復、不遺漏”。

在初中幾何中涉及分類討論的知識點大致有：等腰三角形，相似三角形，兩圓的位置關系……當你對以上各種情況做到“心中有數(shù)”時，分類討論便不再令人望而生畏。

一、分類討論思想在等腰三角形中的應用

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三

角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由。

第二問求“在拋物線的對稱軸上是否存在點Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由。”

點評：等腰三角形是一種特殊的幾何圖形，特別是當?shù)妊切魏秃瘮?shù)及動點問題結合到一起，會出現(xiàn)答案的不唯一性，中考命題人員對此類問題往往特別的青睞，而學生解答時常會出現(xiàn)漏解現(xiàn)象。如果利用分類思想，結合直觀作圖的手段進行分析解答，可以有效避免因思維不嚴密出現(xiàn)漏解的現(xiàn)象。下面結合本題重點介紹一下利用分類思想解答此類問題的技巧。

1.以靜制動，找準切入點

此類問題中雖然所涉及的點是運動的，但總有部分已知點是不變的，抓住這些不變的點，將其作為解題的突破口。在這道題中，因為已知點Q是對稱軸上的一個動點，所以它的位置是變化的，則△ABQ不唯一。認真分析已知可發(fā)現(xiàn)點Q在對稱軸上，因此它的橫坐標不變。且△ABQ的邊AB是確定不變的，這樣可從線段AB入手，以AB作解決問題的切入點，來尋找點Q的具體位置。

2.分類討論，作圖擊破

等腰三角形的邊分兩類：一類是腰；另一類是底。在這里已知邊AB既可以為腰，又可以為底。當AB為腰時，又分兩種情況：一種情況為AB=AQ，即AB為腰，且點A為頂角的頂點；另一種情況為AB=BQ，即AB為腰，且點B為頂角的頂點。這樣共有三種情況出現(xiàn)：第一種情況：當AB為腰，且點A為頂角的頂點時，點Q在以點A為圓心AB長為半徑的圓上。第二種情況：當AB為腰，且點B為頂角的頂點時，點Q在以點B為圓心AB長為半徑的圓上。第三種情況：當AB為底時，點Q在線段AB的垂直平分線上。

二、分類思想在相似三角形中的應用

1.對應角不確定

反思：

分類討論的過程是同中求異和異中求同兩種思維方式的有機結合，即先抓住問題涉及對象的不同特點，分為既不重復，又不遺漏的幾類，運用分類討論思想解題的步驟：

①明確對哪個參數(shù)進行討論；

②對所有的對象進行合理分類。（分類是做到不重復也不遺漏，標準要統(tǒng)一）

③逐類討論：對各類問題詳細討論，逐步解決。

④歸納總結：將各類情況總結歸類得出最終答案。

分類討論方法往往能使一些錯綜復雜的問題變得簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。而另一方面在課堂討論當中，可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。

（作者單位 杭州明珠實驗學校）