簡談中法兩國數學教育的幾點差異

劉立漢

摘 要：數學在法國教育中具有舉足輕重的地位，中國和法國數學在教學內容的編排方式、知識的深度和廣度、教學內容與實際應用相聯系的程度有很多的不同。借鑒中法不同教學的方式，取長補短，對我國數學教學有非常大的幫助。

關鍵詞：中國；法國；數學教育；差異

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：1002-2589（2013）32-0269-02

數學在法國教育中具有舉足輕重的地位，而中國與法國數學教育有很多的不同，下面就中國和法國數學在教學內容的編排方式、知識的深度和廣度、教學內容與實際應用相聯系的程度，簡單談談中法兩國數學教育的幾點差異。

一、教學內容的編排方式不同

法國數學的教學內容都是螺旋上升，循序漸進的。例如，大學一年級會學數列的極限和函數的極限，不過這時只是學習數列極限的描述性定義、單調有界原理、常用極限和極限的運算法則，以及函數極限的描述性定義、函數極限的性質和運算法則、函數極限的判定與重要極限，直至大學二年級才會學習數列的極限和函數的極限的嚴格定義，也就是語言，以及極限的唯一性、收斂數列的有界性、收斂數列與其子數列間的關系、函數極限的局部保號性、柯西（Cauchy）極限存在準則。再比如，大學一年級會學習不定積分與定積分，不過這時只是學習原函數與不定積分的定義、不定積分的性質、基本積分表，以及定積分的描述性定義、定積分的基本性質、關于積分上限的函數及其導數、定積分的計算，直至高年級才會學習不定積分的換元積分法（第一類換元法、第二類換元法）、分部積分法、幾種特殊類型函數的積分（有理函數的積分、三角函數有理式的積分、簡單無理函數的積分），以及定積分的介值定理、中值定理、廣義積分（無窮限的廣義積分、無界函數的廣義積分、無窮限的廣義積分的審斂法、無界函數的廣義積分的審斂法）、定積分的應用[定積分的元素法、平面圖形的面積、體積（旋轉體的體積、平行截面面積已知的立體的體積]。變力沿直線所做的功、水壓力、引力、函數的平均值、均方根）。還比如，大學一年級會學一階線性微分方程解集的構成與疊加原理、相應齊次方程的解、常數變易法、初值問題的解：存在性與唯一性，以及二階線性常系數微分方程的定義與解集的構成、相應齊次方程的解、第二項為指數函數與多項式函數之積時特解的尋求、常數變易法、初值問題：解的存在性與唯一性，而直至高年級才會學習可化為齊次的方程、伯努利方程、可降階的高階微分方程、微分方程的冪級數解法、全微分方程、積分因子、常微分方程組、二維自治系統與相平面、平面奇點、極限環、李雅普諾夫穩定性、自治系統的李雅普諾夫第二方法。另外，大學一年級會學復數的運算和復數的代數結構、復數的模與幅角的定義、復數的模與幅角的性質、復數的指數形式、復指數函數、復數的次根，直至高年級才會學習解析函數的概念、解析函數和調和函數的關系、初等函數、復積分的概念、柯西積分定理、柯西積分公式、解析函數的高階導數、復數項級數、復變函數項級數、泰勒級數、洛朗級數、孤立奇點、留數、共形映射的概念、共形映射的基本問題、分式線性映射。幾個初等函數構成的共形映射。這樣一來，這些知識不再是一個封閉的、獨立的個體，而是不同知識相互聯系成一個整體。

而我國數學的教學內容是呈線性的，同時內容還是呈塊狀的，集中安排，像復變函數、常微分方程都是安排一門課在整個某一學期介紹，而極限、積分、導數等高等數學內容則安排在大學一年級上下兩個學期介紹，保證了知識完整的體系。

二、數學知識的深度和廣度不同

法國的大學數學教材選取了大量的近現代的教學內容。例如，在大學一年級會介紹多項式和有理函數及其性質、比較增長率、雙曲正弦函數、雙曲余弦函數、雙曲三角關系式、雙曲正切函數、反雙曲正弦函數、反雙曲余弦函數、反雙曲正切函數，而對于我國來說，這些內容也有涉及，但在深度和廣度上都不如法國。再者，法國數學會在學復數時會介紹Newton公式和Bernoulli公式、形如的線性化、幺模群，而對于我國來說，這些內容也有涉及只是略微淺顯。

法國數學一開始就使用大量的矩陣理論和線性空間知識，強迫學生以比較抽象的思維從比較高的視點看問題，摒棄中學思維中的部分陋習。而在我國，中國工科教材喜歡用標量式。只考慮大小，忽略方向，甚至還出現過“略去方向不寫，只考慮大小”這樣的語句，盡量避免使用矢量式。比如，我國學生認為柯西不等式是不顯然的，是一種技巧，是少數人的專利，有畏懼心理，更遑論Holder和Minkovski不等式。工科學生很多不知道柯西不等式。而法國教學大綱是按照高屋建瓴的線性空間思維建立的，無論柯西，Holder還是Minkovski不等式，根本就是“三角形兩邊之和大于第三邊”那樣顯然直觀。

三、教學內容與實際應用相聯系的程度不同

數學具有邏輯的嚴謹性，在教材中它總以完善的形式呈現在學生面前，許多題目都是經過數學處理的，具有科學性、系統性。文字表達嚴謹、準確、枯燥，但很少創設問題情境，忽略了數學知識從生活生產中被發現的曲折過程，抑制了學生思維的空間。心理學研究表明，當學習內容與學生熟悉的生活背景越接近，學生自覺接納知識的程度越高。數學學科具有高度的抽象性，嚴密的邏輯性。學生在學習過程中往往感到枯燥，缺少積極性和主動性。從課程的開始就處于一種被動的接受地位，那么，利用學生身邊的實際事實為背景，結合生活實例引入教學就會使學生感到親切，從而以一種積極的心態投入到數學課的學習中去。數學的教學目的是讓學生在掌握基礎知識的同時，培養學生的數學能力和發展一般智力，讓學生明白數學的應用價值，樹立應用意識，培養應用能力。教學的目的不僅是為了考試、考學、考高分的需要，還要培養學生的應用意識，讓基礎知識與實際相結合。法國強調應該讓學生運用所學的知識解決自己在實踐中遇到的實際問題，在教學內容中提出了大量與實際密切聯系的問題，同時還給出了問題解決的各個步驟。在法國教學的聯系實際中，比較多的有學生的直接參與與社會的關切。

我國以往對數學的實際應用關注不夠，數學的實際應用在我國也逐步受到重視，如組織學生參加全國大學生數學建模競賽、美國大學生數學建模競賽等。素質教育下的課堂教學，要充分發揮學生的主體性。從學生的生活中提出問題，會讓學生感到問題的真實性和解決的必要性，從而對解決問題有一種渴望，以一種主動的態度進入數學課的學習。如教學長、正方形面積計算時，我拿了幾張照片發給每個小組，告訴大家這是我們聯歡會的照片，準備舉辦一個展覽，為了保護照片要在照片上貼薄膜，你們知道需要買多少嗎？這時同學們興趣來了，紛紛想辦法，有的說用相片去比一比，有的說用尺子量一量等等，這樣學生熟悉的例子，解決它的主動性也就自然的產生了。

另外日常生活實踐中，包含著豐富的數學知識，如“自行車支架為什么是三角形的，正方形的行嗎？罐頭盒為什么是圓柱形的其他形狀行嗎？車輪為什么是圓形的，橢圓形、六邊形的可以嗎？”結合實際引入新課，促使學生在頭腦中積極思考，不僅達到了設疑引趣的目的，而且擴展了知識面。

總之，數學在法國教育中具有舉足輕重的地位，而中國與法國數學教育有很多的不同，中國和法國數學在教學內容的編排方式、知識的深度和廣度、教學內容與實際應用相聯系的程度等方面都存在差異。

法國大學一年級會學復數的運算和復數的代數結構、復數的模與幅角的定義、復數的模與幅角的性質、復數的指數形式、復指數函數、復數的次根，直至高年級才會學習解析函數的概念、解析函數和調和函數的關系、初等函數、復積分的概念、柯西積分定理、柯西積分公式、解析函數的高階導數、復數項級數、復變函數項級數、泰勒級數、洛朗級數、孤立奇點、留數、共形映射的概念、共形映射的基本問題、分式線性映射、幾個初等函數構成的共形映射。這樣一來，這些知識不再是一個封閉的、獨立的個體，而是不同知識相互聯系成一個整體。我國數學的教學內容是呈線性的，同時內容還是呈塊狀的，集中安排，像復變函數、常微分方程都是安排一門課在整個某一學期介紹，而極限、積分、導數等高等數學內容則安排在大學一年級上下兩個學期介紹，保證了知識完整的體系。

法國的大學數學教材選取了大量的近現代的教學內容.例如，在大學一年級會介紹多項式和有理函數及其性質、比較增長率、雙曲正弦函數、雙曲余弦函數、雙曲三角關系式、雙曲正切函數、反雙曲正弦函數、反雙曲余弦函數、反雙曲正切函數，而對于我國來說，這些內容也有涉及，只是深度和廣度上都略顯不足。

法國強調應該讓學生運用所學的知識解決自己在實踐中遇到的實際問題，在教學內容中提出了大量與實際密切聯系的問題，同時還給出了問題解決的各個步驟。但數學的實際應用在我國也逐步受到重視，如組織學生參加全國大學生數學建模競賽、美國大學生數學建模競賽等。借鑒中法不同教學的方式，取長補短，將對我國數學教學有非常大的幫助。

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（責任編輯：田 苗）