證明費馬大定理

瘦豬

皮埃爾·德·費馬無疑是數(shù)學史上最令人著迷的家伙之一。他出生于17世紀法國一個商人家庭，仕途一帆風順，以至于有資格在姓氏中使用“de”這個代表貴族身份的前綴。費馬把所有的業(yè)余時間都用在了數(shù)學上，卻被《業(yè)余大數(shù)學家的數(shù)學》一書的作者排除在外，“他那么杰出，應該算專業(yè)數(shù)學家”。

古希臘數(shù)學家丟番圖所著的《算術(shù)》跟隨了費馬一生，他在這本書上簡單潦草地記下了48個評注。費馬說過，他對每個評注都有一個證明，所以它們是定理，但他對此要么根本沒有解釋，要么僅僅給出一點點證明提示。

后人前赴后繼去求證費馬潦草筆記的正確性。例如：大于2的任意質(zhì)數(shù)可以表示為4n+1或4n-1兩種形式，其中n是某個整數(shù)。例如：第一類質(zhì)數(shù)總是兩個平方數(shù)之和，而第二類質(zhì)數(shù)永遠不能表示成這種形式。證明這種性質(zhì)對每一個質(zhì)數(shù)都成立非常困難，大數(shù)學家歐拉經(jīng)過7年的努力，幾乎是在費馬去世整整一個世紀后才成功證明。

實際上，在后人證明這些評注之前，它們應該叫猜想而非定理。但是隨著時間流逝，費馬猜想一個個被證明——除了“費馬大定理”，因此它也常被叫做“費馬最后定理”。

讀《算術(shù)》第二卷時，費馬觀察著畢達哥拉斯定理——也叫勾股定理，它有幾十種證明方法。如果將畢達哥拉斯方程x2+y2=z2中x、y、z的2次冪升級到3次冪會怎樣？他發(fā)現(xiàn)方程將沒有整數(shù)解。他試著將其變?yōu)?次冪、5次冪……結(jié)果都沒有整數(shù)解。在數(shù)的無限世界里，竟沒有“費馬三元組”的位置，這似乎是不可能的。費馬在這個結(jié)論后面，寫下了令一代又一代數(shù)學家為之苦惱的一段話：“我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下。”

這個問題困擾人類長達3個多世紀。費馬十分滿意自己對數(shù)學界的挑戰(zhàn)。他并非與數(shù)學界毫無接觸，事實上，他與他們通信，在信中他敘述自己的最新定理，卻不提供證明。這種明顯的挑釁叫他人無法忍受，有人叫他“那個該詛咒的法國佬”。費馬僅有的一次與他人探討數(shù)學的通信是同帕斯卡，他們探討了概率論。當帕斯卡催促費馬發(fā)表他的某個成果時，這個喜歡惡作劇的數(shù)學家說：“不管我的哪個工作被確定值得發(fā)表，我不想其中出現(xiàn)我的名字。”我們不能希求費馬改變個性，只能埋怨當時的出版商為何不將書籍的頁邊弄得更大一些。

歐拉只證明了3次冪的形式。“數(shù)學家之王”高斯雖然沒有研究過費馬大定理，但當他得知女數(shù)學家熱爾曼對證明費馬大定理有突破性進展時，一反常態(tài)，顯得驚喜萬分。1825年，兩位年紀相差一代的數(shù)學家在熱爾曼的基礎(chǔ)上同時獨立證明了5次冪。14年后，法國人拉梅 證明了7次冪。在熱爾曼的研究取得突破性進展后，法國科學院為費馬大定理設(shè)立了專項獎勵，但此后每一次有人聲稱成功證明了費馬大定理，最終都被發(fā)現(xiàn)存在致命漏洞。

數(shù)學與物理、化學等學科不同，這些學科由假設(shè)開始，然后再在自然界或?qū)嶒炇疫M行進一步驗證，而數(shù)學則一開始就要求唯真。或許，這也正是數(shù)學的迷人之處。

1908年的某一天，數(shù)學愛好者、德國人沃爾夫斯基凱爾因失戀決定自殺。自殺前他在圖書館看到了費馬大定理并為之著迷，他活了下來。后來，他立下遺囑，以2007年為限，獎勵第一個證明費馬大定理的人10萬馬克。全世界都為此瘋狂，以至于負責管理這筆錢的哥廷根皇家科學協(xié)會不得不印刷大量的退稿卡片來應付來自各地的信件。

最終，358年之后，英國人安德魯·懷爾斯于1995年證明了費馬大定理，那時費馬大定理已轉(zhuǎn)換為證明谷山-志村猜想。毫不夸張地說，懷爾斯動用了人類發(fā)明數(shù)學以來幾乎所有的知識，匯集了20世紀有關(guān)數(shù)論的所有突破性工作。他的證明寫了滿滿200頁，被分成6章，由6位世界頂級數(shù)學家獨立審核。懷爾斯的證明即使?jié)饪s到最短，也有100頁之多，這與費馬留在頁邊的那段話格格不入。包括很多著名數(shù)學家在內(nèi)的人認為，一定有以17世紀數(shù)學知識為基礎(chǔ)的簡潔巧妙的證明費馬大定理的方法。從這個意義上說，費馬大定理至今仍沒有被完美證明。

（北 岸摘自《人物》2013年第3期）