基于函數(shù)極值原理求解回轉(zhuǎn)體復(fù)雜相貫極值點(diǎn)

宋超

（成都紡織高等專科學(xué)校機(jī)械工程學(xué)院，成都611731）

1 引 言

在化工、食品、給排水、礦山等行業(yè)的機(jī)械設(shè)計(jì)制造中，常常會(huì)遇到各種管體相交的情況，在這些相交的管體中，柱形體、錐形體、球形體相交是相對(duì)比較復(fù)雜的管體相交形式，我們可以把他們變成畫法幾何問(wèn)題中的回轉(zhuǎn)體相貫問(wèn)題。在這些相貫問(wèn)題中，如何準(zhǔn)確確定相交處輪廓的極限點(diǎn)，對(duì)獲得準(zhǔn)確的相交線，保證制造的零部件連接緊密，外形整齊，應(yīng)力均勻，使用可靠，都具有很關(guān)鍵的作用。一般在討論這類問(wèn)題時(shí)，由于精確確定極限點(diǎn)位困難較大，因此往往都是用求一般位置點(diǎn)的作圖方法近似獲得，準(zhǔn)確性較差。本文將通過(guò)數(shù)學(xué)方式討論回轉(zhuǎn)體復(fù)雜相交極限點(diǎn)的確定，通過(guò)數(shù)學(xué)模型的建立，找到精確作圖的基本依據(jù)，從而保證這類問(wèn)題的精確求解。

2 情況分析

現(xiàn)實(shí)中復(fù)雜相貫的情況大致有如下幾種：圓柱類型體與圓錐類型體相貫；圓柱類型體與球體相貫；圓錐類型體與球體相貫。其復(fù)雜相貫位置如圖1。

圖1

由圖1 可知，幾個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵都是極限點(diǎn)位的確定，都有其共性的問(wèn)題，只要確定了極限點(diǎn)位，一般點(diǎn)位都可通過(guò)待定法準(zhǔn)確得出。本文以圓柱、圓錐相貫為例進(jìn)行討論，建立數(shù)學(xué)模型解決相貫線上極限點(diǎn)位，通過(guò)此模型獲得其它復(fù)雜相關(guān)問(wèn)題的解決思路。

3 問(wèn)題討論

以柱錐正交相貫為研究對(duì)象，如圖2（a），柱錐正交相貫可能位置從O1位變化到O2位，無(wú)論在那個(gè)位置，兩者在空間都形成一條三維相貫線。按圖2（b）建立坐標(biāo)系，可以知道這個(gè)三維的相貫線，如按空間方位來(lái)研究，一定存在六個(gè)方向的極限位置，現(xiàn)按圖2（b）進(jìn)行投影，可獲得這個(gè)空間曲線在二維坐標(biāo)體系中的曲線圖。按正投影的規(guī)律，這個(gè)三維空間曲線的方位極限位置，將在這個(gè)二維坐標(biāo)體系中體現(xiàn)出來(lái)。以正面投影角度來(lái)看，這個(gè)方位極限位，在這個(gè)投影面中代表的就是d、e、f、g，也就是最上、最下、最左、最右，最上、最下點(diǎn)比較容易理解，此處不討論，最左、最右點(diǎn)實(shí)際存在卻很難確定。仔細(xì)觀察這兩個(gè)極限點(diǎn)的特征我們可以發(fā)現(xiàn)，在此坐標(biāo)體系下，這兩個(gè)極限點(diǎn)實(shí)際上就是曲線在x 軸方向的最大值和最小值。

為便于計(jì)算，將坐標(biāo)體系按圖3 重新構(gòu)建，在此坐標(biāo)體系下，最左、最右點(diǎn)的位置是沒(méi)有變化的，其基本含義仍然是函數(shù)的極值問(wèn)題，下面我們將對(duì)這兩個(gè)極限點(diǎn)的數(shù)學(xué)求解進(jìn)行研究。

圖2

圖3

4 問(wèn)題求解

按圖3 坐標(biāo)構(gòu)建方程，設(shè)圓柱、圓錐方程如下：

以圖3 坐標(biāo)體系為研究對(duì)象，可以確定圓柱、圓錐的相貫線最左、最右點(diǎn)，就是相貫曲線在xoz 坐標(biāo)面內(nèi)在x方向的最大、最小自變量極值。下面求相貫曲線在xoz 坐標(biāo)面內(nèi)的函數(shù)關(guān)系式。

這是個(gè)多元函數(shù)，可表示為F（x，z）＝0。對(duì)于單調(diào)函數(shù)中，求函數(shù)極值的基本原則是：當(dāng)函數(shù)的一階倒數(shù)為零、二階倒數(shù)為小于零的點(diǎn)為極大值，一階倒數(shù)為零、二階倒數(shù)大于零的點(diǎn)為極小值，這兩個(gè)基本條件可以表示如下式：

（1）若f′（xo）=0，f″（xo）<0，則f（xo）為極大值，也就是最左點(diǎn)。

（2）若f′（xo）=0，f″（xo）>0，則f（xo）為極小值，也就是最右點(diǎn)。

以最右點(diǎn)求解為研究對(duì)象，根據(jù)圖3 所示，在xoz 坐標(biāo)系下，求相貫線的最右點(diǎn)就是求x 的最小值，按照極值的判定原則，令函數(shù)F 求x 對(duì)z 的導(dǎo)數(shù)，求得一階導(dǎo)數(shù)為零，二階導(dǎo)數(shù)小于零的z 值位置，就可以確定x 的最小值，也就是相貫線的最右點(diǎn)，對(duì)于最左點(diǎn)思路相同，這里就以最右點(diǎn)為例討論。

對(duì)式（3）求x 對(duì)z 的倒數(shù)并令一階導(dǎo)數(shù)為零，可得：

由式（5）、式（6），并結(jié)合圖3、圖4 則可以確定kzd/（b-zd）=（a+o2F）/EF=cotα；EF/o2F=k=tan（θ/2）。于是可以得到判定相貫線上極值點(diǎn)的基本數(shù)學(xué)式為：yd=cotα·tan（θ/2）·，對(duì)式（4）求二階導(dǎo)數(shù)并代入極值點(diǎn)坐標(biāo)化簡(jiǎn)后可得下式：

則D 點(diǎn)即為所求，按以上推導(dǎo)可以確定D 在數(shù)學(xué)理論上是準(zhǔn)確的最右點(diǎn)。求出側(cè)面投影后再根據(jù)投影原理作出正面及水平面上的投影，則柱體與錐體的垂直相貫最右點(diǎn)得解，作圖過(guò)程如圖5。

對(duì)于最左點(diǎn)的研究思路類似，這里不再進(jìn)一步推導(dǎo)。

圖4

圖5

5 結(jié) 語(yǔ)

管道輸送上經(jīng)常要處理多通情況，各管路相交會(huì)形成復(fù)雜空間相貫線，如何切割出理想的相貫線，只對(duì)一般點(diǎn)用離散方法制作無(wú)法獲得良好的接縫，一定要對(duì)極限特殊點(diǎn)位精確求解，因此對(duì)極限特殊點(diǎn)位必須給出精確求解的理論依據(jù)和方法。本文針對(duì)回轉(zhuǎn)立體垂直相貫形成的復(fù)雜相貫線為基本內(nèi)容，研究相貫線在笛卡爾坐標(biāo)體系下的數(shù)學(xué)極值求解方法，通過(guò)極值點(diǎn)數(shù)學(xué)判定準(zhǔn)則，求解了相貫線最右點(diǎn)判定公式，并依據(jù)該判定公式來(lái)確定最右點(diǎn)圖形求解的方法，對(duì)相貫線的精確圖解法找到了數(shù)學(xué)依據(jù)。本文雖只針對(duì)極小值（也就是最右點(diǎn)）進(jìn)行了推導(dǎo)，但其基本思路和方法適合于所有極限點(diǎn)的求解，具體應(yīng)用中只要明確其坐標(biāo)的構(gòu)建方法，依據(jù)坐標(biāo)體系確定極值出現(xiàn)的坐標(biāo)軸，根據(jù)坐標(biāo)軸確定求導(dǎo)，確定極值點(diǎn)位置，同時(shí)根據(jù)所得結(jié)果進(jìn)行投影對(duì)應(yīng)研究，找到與之相對(duì)應(yīng)的圖解法。

［1］ 清華大學(xué)畫法幾何及工程畫教研組.畫法幾何［M］.北京：清華大學(xué)出版社，1956.

［2］ 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［3］ 劉好，等.AutoCAD.VBA 環(huán)境下圓管相貫線數(shù)控線切割過(guò)程仿真系統(tǒng)［J］.煤礦機(jī)械，2004（8）：63-64.

［4］ 鄒宏.借助特定輔助平面求圓柱圓錐相貫線的方法［J］.煤炭技術(shù)，2003（5）：99-100.

［5］ 張曉東，等.相貫線及其展開(kāi)曲線的方程構(gòu)建方法的研究［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2008（2）：21-24.

［6］ 李莉.管件相貫線數(shù)控切割數(shù)學(xué)模型及其自動(dòng)編程系統(tǒng)的研發(fā)［J］.組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2001（12）：34-37.