連續掃描法不同取點方式采集曲線曲面數據的誤差研究

黃錦文

（江西冶金職業技術學院，江西 新余338015）

1 引 言

在逆向工程中，三坐標測量機CMM 已經普遍用于測量曲線曲面。CMM 測量數據的方式，分為點位式和連續掃描式［1］。點位式通常用來對經過分布規劃的已知方程曲線曲面進行測量，測量效率比較低［2］。連續掃描測量通常用來對未知曲面方程曲線曲面進行測量。計算機根據離散點采用擬合方法構建出曲線曲面，擬合包括插值和逼近［3］。因為取出的數據點有限，計算機構建出來的曲線曲面和理論曲線曲面之間有誤差。掃描過程中要研究如何取出數據點，在數據點數量盡量少的情況下，使計算機構建出來的曲線曲面誤差最小，即如何在連續截面掃描中，通過合理的取點方式實現自適應采樣。本文對一給定的理論曲線以不同取點方式采集出相同數量的點。然后，利用MATLAB 進行數據點擬合，計算在相同x 處擬合曲線和理論曲線差值，給出誤差分布圖。分析誤差分布圖，得出等角度變化和法可以實現數據點的自適應分布。

2 理論曲線

圖1 函數y=sinx 圖

研究曲線方程為y=sinx（x∈［0，π］）（1）

然后，求解相同點處（xk，yk）的誤差e（yk）

最后給出分布圖，并進行分析。

3 不同取點方式

3.1 等Δx 法

等Δx 法，就是取出點（xj，yj|j=1，…m；m=21）把x 軸分成20 均勻等分xj+1-xj=π/20，x1=0，xm=π。在這些點中，插值出一組新的點（xk，yk），并 計 算 誤 差e（yk）。最后給出誤差分布圖2（x，e（y）），這些取出點的分布如圖3所示。

圖2 等Δx 法誤差分布

圖3 等Δx 法取點在曲線上的分布圖

3.2 等弦長法

取出的21 個點中相鄰兩點（xj，yj）和（xj+1，yj+1）之間的距離dj為弦長值，

等弦長法就是使所有的dj相等，在這些點中，插值出一組新的點（xk，yk），計算誤差e（yk），給出誤差分布圖4（x，e（y）），這些取出點的分布如圖5 所示。

3.3 等弧長法

圖4 等弦長法誤差分布

圖5 等弦長法取點的分布圖

弧長法就是在取出的21 個點中，相鄰兩點（xj，yj）和（xj+1，yj+1）之間的弧長Sj相等。弧長的算法可以近似地按照下面的式子進行

圖6 等弧長法誤差分布圖

式中，di是離散出的數據點中相鄰兩點（xi，yi）和（xi+1，yi+1）之間的距離，Lj和Uj分別是取出點中第j 點（xj，yj）和j+1 點（xj+1，yj+1）對應離散樣本數據點（xi，yi）的位置（即i=Lj和i=Uj，Uj>Lj）。同樣，得到誤差分布圖6 和取出點的分布圖7。

3.4 等角度變化和法

圖7 等弧長法取點在曲線上的分布

圖8 離散樣本點中相鄰三點角度關系

（等積分角度法）

如圖8 所示，離散樣本點中相鄰三點（第i、i+1、i+2 個點），第i 個點和第i+1 個點之間的連線與x 軸所成角度θi，第i+1 個點和第i+2 個點之間的連線與x 軸所成的銳角為θi+1，兩者之間變化絕對值為：

θi可以通過以下兩個式子來計算得到

角度變化和為Qj為

圖9 等角度變化和法的誤差圖

圖10 等角度變化和法的取點分布

等角度變化和法取點就當Qj值達到一定值就取點的一種數據采集方式。式（9）中，Lj和Uj分別是取出點中第j點（xj，yj）和j+1 點（xj+1，yj+1）對應離散樣本數據點（xi，yi）的位置（即i=Lj和i=Uj，Uj>Lj）。圖9 為該方法得到的誤差分布圖，取出點的分布如圖10。

比較四幅誤差圖2、4、6、9 可知，等角度變化和法誤差值隨曲率增大而減小，而其他幾種方法在曲率值較大處的誤差值也大。等角度變化和法誤差值在曲率較小處相對于其他幾種取點方式要大，原因是在曲率值較小處數據采集點比較稀，如圖10 所示。從圖9 還可以確定，對曲率越大或曲率變化越大的未知復雜曲面進行掃描測量，等角度變化和取點法可以實現在盡量少的點數情況下盡可能地反映曲線曲面，即實現自適應采樣。

［1］ 金濤，童水光.逆向工程技術［M］.北京：機械工業出版社，2003.

［2］ 張國雄.三坐標測量機［M］.天津：天津大學出版社，1999.

［3］ 鄭咸義.計算方法［M］.廣州：華南理工大學出版社，2003.