毛細管內徑大小對測量水的黏滯系數的影響

徐昊成，周風琴

（遼寧師范大學物理系，遼寧大連 116029）

流體力學是一門實用性很強、適用性很廣的學科。作為流體力學的一種應用，長期以來人們進行了大量關于流體黏滯系數測量的實驗和研究。人們設計了多種實驗方法來測量液體的黏滯系數，如落球法、毛細管法［1－3］、旋轉圓筒法［4］、平動法、振動法［5］和光干涉法［6－7］等。其中毛細管法是最常用的方法之一。但用毛細管測量，在不破壞層流情況下，作者發現毛細管內徑的大小對測量結果有較大影響。鑒于此，本文中用內徑不同的毛細管測量了水的黏滯系數的對比實驗，旨在找出毛細管內徑大小與黏滯系數測量結果間的某些規律。

1 實驗原理

當液體在運動時，不同液體層之間的速度是不同的。從圖1 可以清楚看到液體在毛細管內的流動情況。

圖1 液體在毛細管內流動

在相鄰兩層之間因有相對運動產生切向力，快的一層給慢的一層以拉力，慢的一層給快的一層以阻力，這對力稱為內摩擦力或黏滯阻力［8－9］。液體內部相鄰兩層液體之間的內摩擦力f，除了正比于兩層之間的接解面積S 之外，還正比于該處的速度梯度dv／dr，因此有

這就是決定液體內摩擦力大小的黏滯定律。式中比例系數η稱為黏滯系數，它是描述液體黏滯性質的物理量，表征液體反抗形變的能力，在數值上等于當梯度變化一個單位時，作用于流體單位面積上的內摩擦力。

如果液體在層流的情況下流過一均勻細管時，根據泊肅葉公式有

dV 為dt時間內流過的液體的體積，（p1－p2）為毛細管兩端壓強差，r和l分別毛細管的半徑和長度［10－11］。

式中m 為單位時間內流過毛細管的液體的質量，ρ為液體密度，g 為重力加速度。

2 毛細管法測量水的黏滯系數的實驗裝置及方法

2.1 實驗裝置

圖2為測量水的黏滯系數的實驗裝置。為了保持毛細管兩端壓強差（p1－p2）恒定，毛細管一端連通一恒水位槽。水槽中一部分水從毛細管流出，多余的水從水槽中間的溢流管排掉。這樣，恒水位槽的水位始終保持一定，從而可維持毛細管兩端穩定的壓強差。

圖2 測量水的黏滯系數的實驗裝置

2.2 實驗步驟及方法

將圖2裝置連接調整后，用質量為m1的燒杯接從毛細管口流出來的水，每次3min，即t＝3min，分別測出流出水的質量（m2－m1）、壓強計水位差（h1－h2）、水溫θ及r、l、ρ。m＝（m2－m1）／3，由（3）式計算水的黏滯系數。

2.3 在實驗中應注意事項

（1）保持水流穩定，排盡管中氣泡。

（2）要調整恒水位槽位置，以保持毛細管中的水流為層流。

（3）測量時應經常觀察恒水位槽中間的溢流管是否有水流，壓強計水位是否穩定。

3 實驗數據及結果

實驗中實驗使用的毛細管內徑（直徑）d 分別為:0.753、0.902、1.365、1.543mm，接水時間為t＝180s所得實驗數據見表1—表4。表中η標為標準值。

表1 毛細管內徑d＝1.534mm、毛細管長l＝785.0mm 時的實驗數據

表2 毛細管內徑d＝1.365mm、l＝801.0mm 時的實驗數據

表3 毛細管內徑d＝0.902mm、l＝778.4mm 時的實驗數據

表4 毛細管內徑d＝0.753mm、l＝795.0mm 時的實驗數據

4 結果分析

從測試結果可知，水的黏滯系數的測量結果與實驗裝置中毛細管內徑的大小有一定關系，隨著毛細管內徑不斷增大，測試結果越來越接近相應溫度下的標準值，也就是說在一定范圍內毛細管內徑越大，測量結越準確，產生的誤差越小。這主要有以下幾個原因:

（1）因（3）式中有r4項，通過誤差傳遞，毛細管內徑的測量誤差會給最后結果帶來最大影響。

（2）毛細管的制造是一項比較精密的技術，毛細管在拉制過程中有一定錐度，這就造成了毛細管本身的不均勻性，而且有時毛細管的截面并非是正圓。在實驗室條件下，一般只能用讀數顯微鏡對毛細管的端口進行測量，這樣就不可避免地造成內徑的測量誤差，毛細管越細，引入的相對誤差就越大，對水的黏滯系數的測量結果影響也就越大。

（3）由于技術條件限制，通常拉制的毛細管并不能保證內壁的絕對光滑，或有凸凹，這樣水流受到影響，同樣管子越細影響越大。另外還有一個重要原因是，當管子內徑越小時，單位時間內流出水的質量m越?。ㄈ绲?個毛細管水流量m≈0.01g／s）如此少量的水在實驗過程中除了被蒸發掉一部分，在稱質量時，同樣地相對誤差也就越大。因此用這樣細的毛細管測得的結果，勢必造成較大誤差。

為了得到較好的測量結果，應避免使用1 mm 以下內徑的管子，從本實驗的測試結果，使用1.5mm 實驗結果較為理想。

為了減小測量誤差，除了上述的盡量避免使用內徑太小的管子外，條件允許還可以用比較法測量，比較法可以從公式中消掉r4的影響，從而使測量結果的精確度大大提高。

5 關于層流與雷諾數

黏性流體運動有兩種形態，即層流和湍流（紊流）。層流是指流體作有規則的層狀或流束狀的運動，各部分分層流動、互不摻混，流體質點互不干擾地前進，質點的軌跡是光滑的，而且流場穩定。湍流（紊流）的特征是流體運動極不規則，各部分激烈摻混，流體質點交錯而又混亂地向前運動，質點除了主要的橫向運動之外，還有附加的縱向運動存在，而且流場極不穩定。泊肅葉公式只能適用于層流。

判斷流體運動狀態的重要參數是雷諾數。雷諾數是指所研究區域內特征的慣性力和特征的黏滯力之比。定義式為

其中，v是流體的特征速度，L 是流動的特征長度，ρ是流體的密度，η是流體的黏滯系數。

對于圓管，雷諾數可表示為

實驗證明，對于不同的黏滯系數的流體，在不同直徑d、保持幾何形狀相似的管道中，以不同的速度v 流動時，只要他們的雷諾數Re相等，則流動狀態必然相同。因此，雷諾數可作為判別液體流動狀態的普遍標準。

通過對實驗數據進行分析計算，得到各個毛細管每次實驗的雷諾數Re都遠遠小于下臨界雷諾數（2 000～2 300），從而保證了適用于公式的基本實驗條件。

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