類蛛網的相位同步

朱小龍，張海天

（1.江漢大學 物理與信息工程學院，湖北 武漢 430056； 2.民航湖北空管分局，湖北 武漢 430302）

0 引言

復雜系統由大量的個體以及個體之間的相互作用組成，例如社會系統、生態系統、交通系統等，對于復雜系統的研究是一個熱門的和具有挑戰性的課題。把復雜系統的個體對應為節點，把個體間的相互作用對應為邊，則復雜系統可以抽象為簡單模型——復雜網絡。復雜系統與復雜網絡的這種關系可以用簡單的示意圖來表示（見圖1），而且復雜網絡反過來又為復雜系統提供了一種研究方法。復雜網絡的研究近十年來不斷地深入和拓展，已經滲透到各個學科領域。

圖1 復雜系統與復雜網絡關系示意圖

從一些實際的復雜網絡系統人們已經發現一些普遍的結構特性，例如小世界性質［1］，即小的平均距離和大的團簇化系數；無標度性質［2］，即度分布服從冪律；團簇結構［3－5］，團簇內節點緊密連接而團簇間節點連接較為稀疏。但是以上這些性質還不能完全描述一些具有特殊結構的實際系統，例如社會組織網絡、層級管理網絡、城市交通網絡和細菌生長網絡等［6－8］。這就面臨發現和建立新的復雜網絡模型的問題。正是基于這一背景，筆者提出了類蛛網模型［9］，用來描述一些類似于環狀結構城市和輻射狀公路鐵路網等具有輻弦結構的網絡，以便研究這種特殊結構對復雜網絡動力學性質的影響。

在集體涌現現象中，相互作用的多個體之間的同步，作為一種重要的復雜網絡動力學性質一直受到特別的關注［10－12］，因為它在神經系統科學、生態學、地理科學以及工業系統科學等領域有著廣泛的應用。不同的網絡結構會對物理過程產生不同的影響，在過往的研究中，人們往往選擇規則網絡或隨機網絡，近年又有大量工作研究小世界網絡和無標度網絡上的相位同步現象［13－14］。然而，真實網絡中廣泛存在的輻弦結構對相位同步的影響如何，目前還沒有相關研究。特別是在世界上有很多城市具有類蛛網結構，隨著城市的發展，它們的規模一般以環狀結構向外圍拓展，但是一些城市功能（比如交通）的協調能力并不一定隨之改善，糟糕的交通狀況是困擾每一個大型城市的“噩夢”。現代城市的發展怎樣才能做到空間擴展的同時還兼顧實現有效的功能協調，這是一個急需解決的世界性難題。本文將通過研究類蛛網的相位同步，從結構影響動力學性質的角度來探討這一問題。

1 模型與方法

1.1 類蛛網模型

首先，在典型蛛網的基礎上構建類蛛網模型。假設圓形蛛網的輻條數為f ，弦條數為g ，則輻弦數目比為f/g ，輻和弦的每個交點稱為一個節點，所有的輻相交于中心節點，總的節點數為N=fg+1。 兩節點之間的連接稱為邊，規則圓網的總邊數為Ne=2fg=2(N-1)。以規則圓網為基礎以一定幾率添加一些邊來構建類蛛網。類蛛網的新邊添加符合以下規則：先選一個節點作為起始端點，再以幾率φ 選一節點作為邊的另一端點，操作禁止自連接和重復連接，重復以上操作遍及所有節點，則添加的邊數為φN ，所以類蛛網的總邊數為

平均度（即與節點相連邊的平均條數）為

圖2 給出了規則圓網和類蛛網的示意圖［9］，其中輻條數f = 8，弦條數g = 4，圖2（a）是規則圓網（φ=0），圖2（b）是類蛛網，即以幾率φ=0.1隨機添加邊。

這里添加連邊概率φ 是指當以一個節點作為起始端點時添加連邊的概率，即在規則圓網的基礎上，依次把每一個節點作為起始端點以概率φ來進行添加連邊的操作。 φ =0 表示都沒有添加連邊，即仍為規則圓網；φ=1 表示每一起始端點都成功添加一條連邊；0 ＜φ ＜1 表示只有部分節點成功添加了連邊。

1.2 相位同步

采用文獻［15］中的方法，考慮一個由N 個耦合相位振子組成的復雜網絡，其中第i 個振子的相位隨時間演化方程為

其中θi是節點i 的相位，ωi是均勻分布的固有頻率，常數λ ＞0 為網絡節點間的耦合強度，a 為連接矩陣，如果節點i 和j 相連，aij為1，否則為0。

引入序參量r ，用來衡量N 個振子系統達到同步的程度。r 定義為

其中Ψ 代表系統的平均相位。序參量r = 0 時表示系統各個體的相位完全獨立；r = 1 時表示系統全局同步。

在一定的耦合強度下，運用四階龍格庫塔法求解方程（3），可得θi，對（4）式兩邊取?？汕蟮胻 時刻系統的序參量r ，即

其中θj是時間t 的函數，即θj=θj(t)。假設t 時刻系統的r 值達到穩定，再運行T 時間步，就可得到r 穩定時的平均值，即

本文計算結果中的r ，都默認為已經做過時間平均后的結果。

2 計算結果與分析

本部分是類蛛網的相位同步的模擬，主要考慮3 個因素對相位同步的影響：耦合強度、邊添加幾率、輻弦比。網絡大小N = 1 001，步長h =0.01，網絡構型平均為30 次，穩定后時間平均取為1 000 步，即（6）式中的T 取為1 000。另外，節點的初態分布也會影響結果，所以要對不同的初態計算結果后再取平均，但考慮到節點數較多，初態分布的隨機性對結果影響并不大，因此只取了30 次平均。

2.1 耦合強度對相位同步的影響

不失一般性，取輻數目f = 20，弦數目g =50，計算了邊添加幾率φ=0 和φ=1 兩種特殊情況下的序參量r 隨耦合強度λ 變化的情況。如圖3（a）所示，φ=0，即規則圓網時，序參數r 隨耦合強度λ 的變化情況?？梢钥闯?，序參數r 隨耦合強度λ 的增大而增大，并且存在一個二級相變，耦合強度臨界值λC=0.30 。耦合強度的增大加強了網絡節點間的相互作用，有利于節點之間達到相位同步，導致網絡全局序參數r 的增大。當耦合強度小于臨界值時，節點間的相互作用較弱，相互間的相位協調很難傳遞至整個網絡；而當耦合強度超過臨界值時，節點間的相互協調作用能順利傳遍網絡，使得整個網絡的相位能夠基本一致，從而達到全局的相位同步。

同時，還計算了φ=1 的類蛛網結構時，序參量r 隨耦合強度λ 的變化情況。如圖3（b）所示，序參數r 同樣隨耦合強度λ 的增大而增大，但臨界值不一樣，λC=0.15，并且r 的最大值也要比φ=0 時的大。說明φ=1 比φ=0 時網絡更容易達到相位同步。也就是說不光耦合強度對相位同步有影響，隨機添加邊也會對相位同步產生影響。

圖3 耦合強度對序參量的影響

2.2 邊添加幾率對相位同步的影響

保持其他參量的值不變，改變邊連接幾率的大小，研究了序參量r 隨邊添加幾率φ 的變化情況，如圖4 所示，其中N = 1 001，f = 20，g = 50，λ=0.2。由圖4 可以看出，序參量r 隨邊添加幾率φ 的增大而增大，即隨機的添加邊可以改善網絡的相位同步。筆者分析主要有兩個原因：一是根據（2）式節點的平均度會隨φ 的增大而增加，即添加的邊增多了網絡間節點的聯系；二是隨機添加邊相當于增加了網絡節點間的遠程連接。這兩點都會減少網絡的平均距離，間接地增強了節點間的相互作用，從而促進了網絡的相位同步。研究結果說明，對于類蛛網結構的復雜系統，可以通過適當增加遠程連接來改善整體的同步性能。

圖4 邊添加幾率對相位同步的影響

2.3 輻弦比對相位同步的影響

前面已經介紹了輻弦結構是類蛛網特有的結構，因此筆者重點關注輻弦比f/g 對相位同步的影響。在其他參數不變時，改變輻弦比的大小，具體參數設定為λ=0.4，φ=0。有關λ 的選取，由圖3 可知，耦合強度的臨界值在0. 15 到0. 3 之間，我們取λ=0.4，此值在耦合強度的臨界值之上，便于研究其他參數的影響。添加幾率為0，即規則圓網，這樣更方便研究輻弦比的影響。由圖5 可知，序參量r 隨著輻弦比f/g 的增大而迅速增大，輻弦比超過3. 5 以后，序參量大小基本穩定在0. 9 附近。在網絡大小不變的情況下，輻弦比增大意味著輻條數變多而弦條數減少，網絡的直徑隨之減小，節點之間的平均距離也變小，促進了網絡節點間的相互作用。網絡平均距離隨輻弦比變化規律的曲線印證了這一點，平均距離隨輻弦比增大迅速減小（見圖5 插圖）。這一結果說明，對于具有類蛛網結構的復雜系統，即使維持平均度不變，增加輻弦比仍然可以增強系統的相位同步性能。

圖5 輻弦比對相位同步的影響

3 結論

研究了具有輻弦結構的類蛛網的相位同步，得出了如下幾點結論：①類似于其他網絡，耦合強度的增強會促進類蛛網的相位同步；②隨機地添加邊可以很好地提高類蛛網的相位同步；③增加輻弦比f/g 的值，可以改善類蛛網的相位同步能力。這些結果對于實際應用有一定指導意義。例如，城市在擴張過程中往往以環狀結構向外圍拓展，即環城線條數不斷增加，但是由于空間限制縱向線路條數無法同時增加，導致輻弦比下降，整個交通系統的同步協調能力可能會隨之減弱。這說明，城市功能的改善不能僅僅寄希望于空間上的簡單擴張。

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