雙變量度量理論及引力的量子化

邵 丹，邵 亮，謝 勇

（1.江漢大學 光電信息研究所，湖北 武漢 430056； 2.武漢科技大學 理學院，湖北 武漢 430081；3.江漢大學 研究生院，湖北 武漢 430056）

0 引言

圈量子引力（LQG）出現之前，引力量子化大體有兩種途徑。一種是利用引入其他場、延展體、超對稱等方法，企圖使引力量子化。這些方法中除超弦M－理論外，其余皆因解決可重整性問題無望而無法發展。而M－理論中，關于引力相互作用的核心問題，目前也欠全面和具體的闡明，完成引力的最終量子化，還需長期的過程。另一種是在引力體制內進行引力的量子化。這種方法歷史上提出的具體模式很多，其中最被推崇的是4－導數引力。這種理論是把General Relativity（GR）中的微分同胚變換當作規范變換［1］，將模式中的引力場用Faddeev 規范場量子化的方式量子化。其優點是可以用（引力）曲率平方項的引入消去引力的發散，理論在表現上具有可重整性。它需要解決的問題是，理論中存在負能量的粒子；若解決負能量問題，可能破壞S 矩陣的么正性。盡管如此，這一理論仍是協變方法實現引力量子化進行得最為徹底的一種理論。這一方法在引力量子化歷史上曾引起不小的關注，如Rovelli 在文獻［2］中回顧引力量子化簡史時，曾例舉過對Stelle［3］提出的4－導數引力量子化的評述。他指出，盡管4－導數引力存在需要進一步解決的問題，它仍被認為是解決量子引力問題的一種可行選擇。Gambini 和Pullin 在文獻［4］中談到引力量子化的可重整性時，也指出了4－導數引力在作用量中引入高次項的方法可以用于治療引力發散，不過應當去掉它為理論帶來的非物理性質。同時，在論述空時性質時還指出，空時幾何應具有非交換性質，這種性質與微觀不確定性原理應相容。

利用量子化空時與引力的關系探討引力的量子化，是LQG 發展出的一種新方法。這方面的一個例子就是Rovelli 的用空時4 單形剖分方法所做的引力子散射理論［5－6］。該理論把Regge 計算和量子場論中的連續場的量子化方法，利用空時的微觀離散性質和四面體的量子特性，做了明確的推廣。這開啟了用量子化的空時研究引力量子化的先例。不過，理論中仍然存在自旋網頂角結網算子以及低能極限等的不確定性，需要進一步研究，目前還遠非是理論上無需質疑的結果。

筆者認為，引力量子化與空時量子化及其微觀性質有關。把空時量子化后的信息引入到引力量子化中來，可去掉或改善引力量子化遇到的困難，甚至如上困難。Rovelli 的上述工作，就是借用空時的量子剖分特性表述的一種引力的量子化。

針對如上現實，本文仍用作用量中的曲率平方項來抵消引力發散，不過曲率平方項并不取決于引力擾動，而是由量子化后空時的度量決定。從而理論中將不出現負能粒子，也不存在為了消去負能粒子而可能破壞么正性的問題。而且與其他高導數理論不同，它的引力部分保持與GR 相同，量子化后也不存在其他非物理結果。

1 空時與引力的雙變量度量統一理論

1.1 雙變量度量

本文中的空時與引力是在LQG 中發展出的兩個完全不同的概念，空時并不指引力，引力也不指空時。Minkowski 空時M′ 是本文空時的平坦極限，一般空時可以彎曲，記以M 。 M 的彎曲是自身獨立的彎曲，與其中引力的存在與否無關。GR 是把平坦Minkowski 空時M′ 的度規ημν和引力擾動hμν(x)結合在一起的空時與引力的統一理論。LQG 對空時量子化的研究表明，量子化空時M 自身的度量將允許有量子起伏，這里記為ημν(x)，從而M 可具有與引力存在與否無關的彎曲，即空時彎曲。 M 中有引力擾動hμν(x)存在時，得到的流形記為M，即M 是空時與引力的二元世界。熟知，M′是M 的抽象平坦特例，M′中存在引力擾動hμν(x)時，得到的流形則記為M′。M′在本文中是空時M′與引力混成的4 維流形，而在GR 中被稱為“彎曲時空”。

由于空時和引力都可使流形M 彎曲，據文獻［7］，M 的度量將由如下雙變量度量構成：

式中重復相乘指標不求和，ημν(x)=εμν(x)ημν，εμν(x)為空時度量演變參量。當εμν(x)≡1 時，（1）式為GR 中的度規表達式。（1）式中的εμν(x)與hμν(x)分別是空時度量擾動與引力擾動，二者是獨立的，都對組合度量?μν(x)有貢獻。

1.2 雙變量度量空時與引力統一理論的作用量與場方程

該理論研究的對象為空時與其中的引力，二者形成的二元世界M 的本體是空時M ，M 上的織繡是引力擾動hμν(x)。流形M 的度量為合成度量?μν(x)，它的作用量為

將二元世界的作用量（2）式分別對引力擾動hμν(x)和空時度量擾動ημν(x)求變分，可得該統一理論的兩組場方程。

將作用量（2）式利用通常變分原理

式中?μν為時空度規，Tμν為GR 的質量張量，將得到該統一理論的引力場方程

式中Gμν(hλσ)為統一理論的引力愛因斯坦張量，其表達式為

把作用量（2）式對空時度量擾動ημν(x) 變分，即

該統一理論的空時度量方程如下：

式中不同形式的曲率以及統一理論的空時愛因斯坦張量Gμν(ελσ)，皆由組合度量（1）式中的ημν(x)規定，且皆作為基本變量εμν(x)的泛函。對于統一理論的空時愛因斯坦張量，它的表達式如下：

（7）式的意義在于，在該模式中，空時與引力雖然可以進行統一描述，但空時自身具有獨立的演化機制，它是空時理論中的一組新方程。對空時M 這種演化機制的刻劃，是該雙變量理論的重要結果，也是它與GR 的重要區別。作為特例易知，Minkowski 空時M′ 是（7）式的一個特解；另外，Rμν=0 的空時也是（7）式的特解，而后者是可以彎曲的。

2 雙變量度量空時與引力統一理論的引力量子化

根據作用量（2）式，利用通常的規范場協變量子化方法，可把該統一理論中的引力進行量子化。為此，選量子化Green 函數生成泛函Z 的規范固定項

式中λ 為規范固定參數，

鬼項與外場項分別為

式中ξ 為空時任意無窮小矢量。

利用（2）、（9）、（10）和（11）各式定義的拉氏量Lgr、Lst、Lgf、Lgh和Lef，可得到用于引力量子化的約簡有效作用量為

式中Leff為該理論引力量子化的有效作用量，且有

求出該理論引力子自由傳播子和各種散射傳播子。這里把引力自由傳播子和引力相互作用3 頂角給出于后。

對于引力子自由傳播子，可將（2）式中的Lgr對hμν(x)完（引力擾動）展開，展開式中h2項將貢獻這一傳播子，同時規范固定項Lgf也將貢獻這種傳播子?，F將結果直接給出如下：

類似地，將Lgr的展式中的h3項收集齊全，通過下式

可得該雙變量統一理論中的引力子3 頂角，現將如此得到的一結果列出如下：

該理論中鬼與反鬼粒子的引入，是為了使理論具有最大完備性（對稱性），這種粒子將參與相互作用描述，但并無觀測效應，對其要求是保證理論自恰。

3 重整化

3.1 發散分析

該理論存在的引力自身的傳播子，有2 點、3點、4 點、……散射傳播子，由這些傳播子按Feynman 規則編織出的相互作用圖，將不可避免地出現由粒子動量標定的圈圖，這些圈圖在積分中的無窮大貢獻必須用正規化和重整化手續消去。文獻［3］已經用協變手段為4－導數引力的量子化得到了正規化結果，現直接給出如下：

式中Pμν為引力子的反對易外場。在LQG 體制下，解（20）和（21）這兩組方程，將有［3］

式中Sμν和Tτσ是引力場hμν的任意Lorentz 協變函數。這里需要指出的是，該理論中雖然存在兩個獨立變量，但二者構成的仍是一個統一的度量。同時，由于Gauss－Bonnet（G－B）定理的存在，將使得（22）式中的泛函I(hμν)是hμν以及它的0、2、4 導數的任意規范不變的定域泛函。

3.2 發散消除

3.2.1 雙變量度量理論的引力重整化Ⅰ——曲率0、1 次方型發散的消除 從發散表達式（23）和（24）可知，這一理論有關引力的發散共有4 種。我們先給出（23）式右側第一項

對于I(n)中的第二項和第三項

與文獻［3］不同，由于（2）式中的曲率平方項不是引力擾動hμν的泛函，而是εμνημν的泛函，利用εμνημν作為函數變量，并采取如上直接構成符號相反結構相同的抵消項來抵消（26）式中的曲率平方型發散，并不能保障數量上真正抵消。這是因為，與4－導數引力不同，這里的hμν和εμν是兩個相互間獨立的變量，而4－導數理論只具有hμν作為變量。從而，需要進一步使用不同的重整化技術。

3.2.2 雙變量度量理論的引力重整化Ⅱ——曲率2 次方型發散的消除

1）組合度量的重整

首先從如下形式的組合度量

開始討論。前面曾指出，組合度量（27）式是在微觀Planck 尺度用等價類手段得到的結果。GR 是在宏觀利用Riemann 幾何，并通過等效原理，使這一組合度量中的引力擾動hμν(x)，寫在了平坦Minkowski 空時背景之上，從而有了GR 中的組合度規表式

這樣一來，在GR 中便引入了平直度規ημν。同時，也把狹義相對論作為了它的極限(hμν→0)理論。我們認為，空時作為質地，它的度量εμν(x)ημν具有抵消引力擾動產生發散的作用。為此，它將有與hμν(x)等量的一部分度量被“消耗”。將這一部分記為(εμν(x)ημν)E，則數值上將有等式

這里稱(εμν(x)ημν)E為空時重整化折合度量。這里需要指出的是，(εμν(x)ημν)E為εμν(x)ημν中折合出來的一部分，它在數值上與hμν(x)相當，但其本身并非是引力擾動，故而，不貢獻引力子。這一性質十分重要，它可用于消除引力相互作用中出現的發散，且不出現負能粒子。另一方面，

中，因用于重整化而剩下的部分

2）作用量的重整

現在考慮作用量。在如上雙變量組合度量的重整化方程式下，也將導致作用量（2）式發生改變。（2）式給出的經典作用量S 包括三部分貢獻。其中LSO(3，1)在重整化過程中并不發生改變。重整化后的Lgr表達式未改變，不過其中的組合度量?μν(x) 需用重整化后的組合度量?μν，R(x) 代替。另一發生改變的是空時作用量Lst，現在給出Lst在這一重整化過程中的改變。它的表達式為

式中中間變量 εμν(x) 表征的是空時度量εμν(x)ημν。在考慮了如上組合度量重整化

后，由于組合度量?μν(x) 中的空時度量εμν(x)ημν被分解成兩部分：

這將導致作用量Lst將分別由如下兩個作用量代替：

式中

利用（35）式，把（36）和（37）式代入（2）式，將有考慮了如上重整化前、后的作用量改變

之后的雙變量理論的作用量。把得到的這一作用量記為SR，則有

3）引力發散的最終消除

如上用逐階抵消的方法，消除了（23）和（24）式給出的n 圈階出現的全部發散。

4 結論

該雙變量理論中，認為空時與引力是完全不同的兩種概念，它們具有嚴格區別外，也存在聯系［7］。GR 由于自身的體制不能把引力與空時徹底剝離，它的量子化無法找到適當方法得以有效地進行。本文在分別把它們用變量εμν和hμν做徹底的分離表述后，將量子化的空時質地M 提供的信息輸入到引力的量子化方程式之中，自恰地克服了以往遇到的困難，完成了一種引力的量子化與重整化的最終研究。

該雙變量理論中空時M 的幾何以及描述引力激發與躍遷的幾何均是LQG 中的非交換幾何［9］，從而為引力量子化的研究重新打下了合理的基礎。

由于空時M 按G－B 定理提供的拉氏量Lst，與4－導數引力不同，是定義為空時變量εμν的泛函，從而重整化后，它一部分（即Lst，E）將用于抵消引力發散，而另一部分（即Lst，R）將支配空時M 本身的度量演化。這一方面使理論中的引力部分與GR 相同，不出現負能粒子；另一方面，也不再出現與現實物理不相容的多余結果。從而對傳統高導數理論引力量子化遇到的問題進行了技術上的解除。解除的關鍵是把LQG 中空時量子化的信息引入到了引力量子化中來。這說明，引力并不像傳遞其他相互作用力的粒子那樣，只把空時作為背景，即可實現自身的存在與量子化；而是告訴我們，引力與空時既有嚴格區別，又有相互間的深刻聯系。這種區別與聯系未闡明之前，引力的量子化不會得到成功。物理學告訴我們，引力場必須與描述空時的度規進行合成，才能得以徹底描述。這是引力的特征，不僅在宏觀如此，在微觀量子化水平更是如此。這也注定了引力量子化并不排除沿用通常場的量子化方法，但也必須考慮它的特殊之處，最主要的是考慮空時量子化與引力量子化間的關系。否則，按LQG，引力的量子化無法獨立地獲得與量子化空時自恰的結果。也就是說，要在空時與引力二者量子化的共同研究中，實現引力的量子化。

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