資源約束下的反導任務迭代收斂特性

董 濤 劉付顯 李 響

(空軍工程大學防空反導學院，西安710051)

張 輝

(93756部隊，張家口075100)

Dong Tao Liu Fuxian Li Xiang

(School of Air and Missile Defense，Air Force Engineering University，Xi’an 710051，China)

Zhang Hui

(93756 Military Unit，Zhangjiakou 075100，China)

反導作戰，簡稱“反導”，指使用反戰術彈道導彈武器系統抗擊敵戰術彈道導彈突擊的作戰.反導作戰是復雜的信息化體系作戰，執行反導任務的作戰資源，包括指控中心、預警衛星、地基遠程預警雷達、末段高層火力單元、末段低層火力單元等［1－2］.反導任務包含預警探測、目標截獲、跟蹤識別、火力攔截、殺傷效果評估等，任務環環相扣，單一資源無法承擔全部反導任務［3］.作戰資源必須通過密切的信息交互進行協同作戰，分別承擔不同粒度的多類型反導任務.

信息實時交互也導致大量迭代，大大增加了反導任務總量，并影響到任務執行進度，如果不清楚任務總量迭代收斂機理，就無法合理規劃反導任務.目前，關于任務總量及其迭代收斂性研究的文獻較少［4－5］.本文結合任務轉移矩陣，建立基于資源約束的任務總量模型，探究任務總量迭代收斂規律，為有效管理和控制反導任務提供了理論依據.

1 任務轉移矩陣的建立

1.1 任務轉移矩陣分析

任務迭代過程包括任務返工概率和返工量兩方面.返工概率指任務以一定的概率引起其他任務的返工從而構成循環，返工量指在循環中的某任務將以一定比例的任務量再次執行.為有效管理與控制反導任務迭代，引入任務轉移矩陣(TTM，Task Transform Matrix)準確度量任務之間的聯系與依賴程度.

任務轉移矩陣A是一個N×N維的矩陣，即 A=(aij)N×N，aij∈A，i，j=1，2，…，N.aij是任務轉移量系數，表示任務執行過程中，任務Tj導致任務Ti進行aij個單位任務量的返工.任務轉移矩陣A的對角線元素定義為0，即aii=0.

1.2 任務轉移矩陣相關假設

任務轉移矩陣建立在如下假設［6］基礎上:

1)第1次迭代時所有任務并行執行，而在隨后的迭代過程中按照返工概率執行;

2)在每一個迭代階段，上次迭代未完成的任務量再次全部執行;

3)任務轉移量系數保持不變，由于迭代次數的增加，引起相應的返工概率和返工量發生變化，但多數情況下返工狀態在第1次返工后不發生太大變化;

4)每一任務收到其他任務的信息交互請求時作為一次迭代的開始，直到該任務收到下一次請求再進行下一次迭代.

2 任務總量的迭代收斂機理

2.1 任務總量模型

反導任務是動態變化的，信息實時傳遞和反饋所產生的大量迭代，大大增加了任務總量.如果不清楚任務總量變化趨勢及其收斂規律，就無法合理規劃反導任務.根據假設3)，令ρ(0≤ρ≤1)表示剩余任務總量每次迭代完成比例，每次均保持定值［4－5］.

其中，(1－ρ)Ut為第 t個單位時間內，因資源、時間等約束而遺留給第t+1個單位時間的剩余任務量;ρAUt為第t+1個單位時間需要返工的任務量;(1－ρ)Ut與ρAUt之和構成了第t+1個單位時間的任務總量Ut+1.

令UTotal表示需要完成的任務總量，是整個迭代過程中，任務向量對應元素之和.令 A*=(1－ρ)I+ρA，則 Ut=(A*)tU0.

對于任務轉移矩陣A，若存在線性無關的向量S使得

其中，Λ為以A的各個特征值λi(i=1，2，…，N)為主對角元素的對角矩陣，稱為特征結構矩陣;S為λi(i=1，2，…，N)對應的特征向量組成的矩陣，稱為特征向量矩陣.

其中，I為N×N的單位矩陣;Λ*為A*的特征結構矩陣，Λ*=(1－ρ)I+ρΛ.

根據式(2)～式(4)，得式(5):

通過任務總量模型的對角化，建立UTotal與Λ*及S的關系.UTotal的收斂性取決于Λ*主對角元素，可根據A*的矩陣收斂特性對UTotal進行收斂性判定.

2.2 迭代收斂規律

引入任務轉移模型的目的在于研究任務總量迭代收斂規律.Λ*是任務總量模型的核心，其對角元素決定了任務總量的收斂特性的大小定性反映了收斂趨勢和速度.

由式(6)可知，任務總量UTotal的大小取決于λi和 ρ的取值.當 λi∈(－∞，1］時，A*的特征值(1－ρ+ρλi)大于 A 的各個特征值 λi.當 λi→1 時，任務總量UTotal隨之不斷變大，收斂速度逐漸減緩.其次，因每次迭代僅完成一定比例ρ(0≤ρ≤1)的任務量，所以λi為定值的情況下，隨著ρ→1，UTotal逐漸減小，迭代收斂速度加快.

2.3 資源約束的影響

協同反導作戰過程中，作戰資源是有限的，資源約束是難以避免的.不合理的資源分配必然會影響反導作戰能力、降低任務總量收斂速度，從而延誤戰機.為更有效地協同完成反導任務，必須綜合平衡作戰資源和任務總量、任務執行時間之間的矛盾［7］.

作戰資源是影響任務總量迭代收斂的重要因素.承擔反導任務的各個資源平臺存在著不同的作戰效率上限vi，max.當任務總量為定值時，在滿足資源約束的條件下，以最短的時間為優化目標，可得到不同作戰資源的最佳效率值.任務總量UTotal與作戰資源的任務執行效率V、作戰時間T的關系可表示為式(7).

其中，V=diag(v1，v2，…，vN)，vi為任務 Ti的執行效率，表示單位時間內完成的任務量;T=(t1，t2，…，tN)T是N×1維的時間向量，ti表示完成任務Ti消耗的時間單位.

在資源約束下，作戰時間模型如式(8)所示.

根據式(8)，得到任務的最佳效率值vi，optimal.由 vi，optimal得到任務關鍵度 iimportant，如式(9)所示.

iimportant綜合考慮了作戰資源的最優效率和最大作戰效率，精確描述了各任務不同的作戰能力需求.可根據iimportant衡量任務的關鍵度，調整資源配置狀態，優化任務執行順序，提高任務總量UTotal的迭代收斂速度，縮短任務執行時間.

3 案例分析

以5個敵戰術彈道導彈來襲時的反導作戰為例，整個反導任務可抽象為5個任務［8］，因時間和資源的約束作用［9－10］，任務之間相互影響、相互制約.5個反導任務之間的聯系如圖1所示.

圖1 反導任務之間的聯系

基于圖形的建模方法雖然能直觀地表達任務之間的信息交互關系，但當任務規模相對龐大和復雜時，任務間的關系也因此變得復雜，不利于深入分析任務之間的相互影響和作用程度.

采用矩陣的形式描述任務關系，靈活且易于理解，便于計算.用模糊數來評定任務關聯程度，建立任務轉移矩陣，度量時序和信息對任務的影響度，揭示了反導任務的復雜關系.根據圖1，確定反導任務的任務轉移矩陣A，如式(10)所示.

由式(6)可知，UTotal與ρ成反比關系.當ρ=1時，任務總量UTotal最小，即:

圖2 任務向量的變化趨勢

在第1個單位時間內，由于任務間的相互影響和制約，任務3和任務5的任務量變大.但隨著任務總量的迭代收斂，各任務向量逐漸收斂，任務之間的關系隨之簡化，復雜度不斷降低.

作戰資源是有限的，資源約束如式(11)所示.

根據式(8)和式(9)，計算最佳效率值vi，optimal和任務關鍵度iimportant，如表1所示.

表1 任務的執行順序

任務關鍵度越大，說明該任務消耗的作戰資源和時間越多.由表1可得，任務3和任務4的關鍵度最大，其需求的作戰資源在達到最大效率的情況下，才能在規定時間內完成此任務.所以，任務3和任務4是關鍵任務，必須優先執行.而任務5的關鍵度最小，可最后執行，并且配置的作戰能力過剩，存在著比較嚴重的作戰資源浪費.因此，通過動態優化資源配置，能有效控制任務總量及其迭代收斂速度.

4 結 束 語

針對反導任務總量及其迭代收斂問題，本文引入任務量完工比例參數，建立任務轉移矩陣，定量描述反導任務的復雜聯系和作用強度.再建立任務總量模型，深入研究任務總量迭代收斂規律.在資源約束條件下，優化任務優先級，減少因迭代產生的返工和重復任務，有效縮減任務總量，縮短任務執行時間.本文對作戰過程進行了一定程度的簡化，需進一步研究反導任務的迭代次數、動態特性和任務轉移矩陣精確度等問題.

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