電力系統諧波頻譜分析的相位差校正法

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(1.成都市三新電力服務有限公司，四川 成都 610000；2.西南石油大學電氣信息學院，四川 成都 610500)

電力系統的諧波問題在世界范圍內得到了十分廣泛的關注，諧波的管理、檢測和治理等被擺到了十分重要的位置。諧波問題涉及面廣，它包括諧波分析、諧波測量、諧波抑制等。諧波測量是諧波問題管理的主要依據，實測電網諧波的干擾和分布狀況，已成為保證電網安全經濟運行、高質量供電必不可少的措施之一[1，2]。

而電力系統諧波分析的主要方法是頻域分析，由于柵欄效應、頻率混疊和頻譜泄漏，故要得到準確的頻譜分析結果就必須對經FFT變換得到的頻譜進行校正。相位差校正法由于其相對簡單，通用性好，計算方便，故在不很密集的頻譜分析中得到了廣泛應用。下面討論了幾種實現相位差校正法的方法，并通過仿真對幾種方法做了對比分析。

1 余弦窗函數及其拼譜

電網信號主要含有整數次諧波，因而常采用基于余弦窗的組合窗，這類窗只要選取觀測時間是信號周期的整數倍，其頻譜在各次整數倍諧波頻率處幅值為零，因而諧波之間不發生相互泄漏[4]。

余弦窗一般可以表達為(H為窗的項數減1)

(1)

(2)

可見，在窗的主瓣內具有線性相位-λπ。

2 相位差校正法[3]

2.1 相位差校正方法1

采集兩段連續的信號樣本，然后對這兩段信號做FFT變換，利用其對應離散譜線的相位差校正出譜峰處的準確頻率和相位。對兩段信號加相同的窗函數后進行FFT變換后的相頻函數，在窗函數主瓣內都具有同樣的相位偏差θw，而且斜率相同，則第k次諧波有(θk為信號實際相位)

θk0=θk+θw

θk1=θk+θw+2π×Δx/Tk

(3)

相位差為(令Δxk=mod(Δx，Tk))

Δk=Δxk/Tk=(θk1-θk0)/2π

(4)

(Δxk+nTk)=T?(m+Δk)Tk=T

(5)

校正頻率為

(6)

可得式(5)、(6)中，Tk為k次諧波的周期；T為采樣序列的周期；m為峰值譜線號；N為采樣點數；fs為采樣頻率，fs/=N/T。)

設窗函數的頻譜模函數為w(λ)，yk為譜線為n時的FFT幅值，則幅值校正為[5]

(7)

而漢寧窗的幅值校正公式為

(8)

當實部為Rk，虛部為Ik時，真實相位角θk為

(9)

其特點是通用性好，對不同窗函數時可用相同的公式進行頻率和相位校正，頻率分辨率為窗函數的分辨率，如上面的漢寧窗為兩倍的采樣基波頻率(2/T)，校正精度高。且計算方法簡單，運算速度快，加漢寧窗時，考慮旁瓣干擾，適用于頻率間隔為2個以上的頻率分辨率的離散頻率成分的校正。當頻率成分很靠近時，存在旁瓣干擾，甚至會發生主瓣干擾，因而會影響校正精度，甚至無法校正。

2.2 相位差校正方法2

這種方法只對原始信號采用一段樣本，然后分別作N點和前N/2點FFT，利用其對應離散譜線的相位差校正出譜峰處的精確頻率和相位。同樣加窗后兩段信號的相位分別為

θk0=θk+θw

θk1=θk+θw/2

(10)

故可得θw=-2Δθ=Δkπ

(11)

即 Δk=-2Δθ/π

同樣，加漢寧窗后的第k次諧波校正頻率、校正幅值和校正相位基于式(6)、(8)、(9)求得。

這種方法的特點是只需要一段時間信號，對于頻率成分靠得很近，因為作N/2點FFT時，頻率分辨率擴大一倍而導致校正誤差大，故加漢寧窗時，適用于頻率間隔為5個以上頻率分辨率的離散頻率成分的校正。

2.3 相位差校正方法3

這種方法只采用一段時域信號，然后構造另一時間序列，再對這兩段時間序列做FFT變換，利用其相位差進行頻譜校正。構造序列的方法是：根據原始序列x(n)(n=0，1，…，N-1)，將原序列的前N/2點向右平移N/4，然后將序列的前后N/4點置零，利用窗函數的能量集中在中間近似求解。

加窗做FFT變換后，兩段信號的相位分別為

θk0=θk+θw

(12)

相位差為(令Δxk=mod(Δx，Tk)，i=mod(k，4)

(13)

Δk=Δxk/Tk=2(Δθ-πi/2)/π

(14)

同樣，加漢寧窗后的第k次諧波校正頻率、校正幅值和校正相位基于式(6)、(8)、(9)求得。

這種方法的特點是速度快。只需采一段時間信號，加任何對稱窗函數均可，通用性好。但精度比第一種方法略低，但其有比較好的抗干擾能力。但此方法仍然無法消除頻譜干擾帶來的誤差，不適用于密集頻率分析。

3 仿真實例

3.1 較遠的頻率成分的校正比較

信號如式(15)所示，采樣頻率為1 024 Hz，頻譜分析點數為1 024，頻率分辨率為1 Hz。選用漢寧窗，分別進行無噪聲和加最大幅值為0.5的隨機小噪聲(消除直流成分后，相當于各頻率成分幅值的25%)以及加最大幅值為2的隨機大噪聲(消除直流成分后，相當于各頻率成分幅值的100%)。 實驗分析結果如表1、2所示。

y(t)=cos(2π4.2t+20π/180)

…+cos(2π150.5t+30π/180)

…+cos(2π300.7t+50π/180)

(15)

結果表明如下。

(1) 在小噪聲(無噪聲)的情況下，對于間隔較遠的頻率成分，各種相位差的校正方法在頻率、幅值和相位方面的校正精度很高。比較而言，相位差法1的精度高于其他兩種校正法。

(2) 在加大噪聲的情況下，各種校正方法的校正精度都明顯降低，但結果精度仍然很高。相比而言，第3種校正法受噪聲影響最小。

3.2 間隔較近的頻率成分的校正比較

信號如式(16)所示，采取方法1中同樣的采樣頻率、點數。

y(t)=cos(2π123.4t+20π/180)

…+cos(2π127.4t+30π/180)

…+cos(2π131.4t+50π/180)

(16)

對式(16)信號加最大幅值為0.5的小噪聲，再加漢寧窗進行分析。對比的結果如表3所示。

表1 疊加隨機小噪聲信號校正結果分析

表2 疊加隨機大噪聲信號校正結果分析

表3 校正結果分析(Δf=4 Hz)

在頻率間隔4個頻率發辨率時，利用相位差法1進行校正，頻率最大誤差為0.001 749個頻率分辨率，幅值最大誤差為0.709 9，相位最大誤差為0.675 663°。利用相位差法3進行校正，頻率最大誤差為0.022 803個頻率分辨率，幅值最大誤差為1.200 49%，相位最大誤差為4.690 788°。而用相位差法2進行校正，頻率最大誤差為0.431 97個頻率分辨率，幅值最大誤差為16.931 1%，相位最大誤差為100.758 972°

4 結 論

通過幾個仿真中可總結出，在無噪聲和小噪聲的情況下第1種相位差校正法校正精度高于其他兩種。從電力系統諧波分析的實際考慮，假定諧波是平穩分布的，通過進一步仿真表明，采樣周期選為5倍的基波周期時，相位差校正法1的精度完全可以滿足要求。而達到同樣精度，其他兩種算法要抽樣時間大于10倍的基波額定周期。實際中，相位差法1需要采樣兩個序列，故3種方法的采樣時間相差不大，但如果分析的諧波次數相同的情況下，后兩種方法的采樣速率必須是前者的兩倍，處理的數據量也增加了一倍。另外，如果考慮更好的窗函數，可以求得更好的結果，但計算復雜，且3次以上窗很難得到準確的校正公式[5]。故基于第1種相位差校正法的優點，推薦使用加漢寧窗的第1種相位差校正法進行校正。

[1] 吳競昌.供電系統諧波[M].北京：中國電力出版社，1998.

[2] 宋文南，劉寶仁.電力系統諧波分析[M].北京：水利電力出版社，1995.

[3] 丁康，鐘舜聰.通用的離散頻譜相位差校正方法[J].電子學報，2003(1)：142-145.

[4] 潘文，錢俞壽基于加窗插值FFT的電力諧波測量理論：(I)窗函數研究[J].電工技術學報，1994(1)：50-54.

[5] 潘文，錢俞壽.基于加窗插值FFT的電力諧波測量理論：(II)雙插值FFT理論[J].電工技術學報，1994(2)53-56.

[6] 沈國峰，王祁.進一步提高準同步采樣諧波分析法準確度的方案[J].儀器儀表學報，2001(5)：455-457.

[7] 譚山，熊元新，劉珠明.電力系統分數諧波的測量方法[J].繼電器，2002(2)：19-21.

[8] 陳隆道，王小海.周期域分析中的信號周期算法[J].儀器儀表學報，2001(4)：410-412.