基于能量法計算材料的彈性模量和壓痕硬度

金宏平，陳建國

（湖北汽車工業學院機械工程系，十堰442002）

0 引 言

很長時間以來，在實際工程中常將硬度作為評估材料強度、耐磨性和剛度的一個指標。但是，由于傳統的硬度測試要求用光學儀器測量殘余壓痕的尺寸，這使其在工業應用中存在一定困難，并容易引起誤差。最近十多年以來，由于新材料的大量涌現，特別是納米材料和涂層材料在工程中的大量應用，為了評價這些新材料的力學性能，常規的力學性能測試方法顯然已不適用。因此，很多學者嘗試通過分析硬度測試過程中的載荷和位移數據，建立載荷-位移曲線與材料性能之間的某種約束關系，如圖1所示，從而間接獲得材料的力學性能［1-5］。

Oliver和Pharr［6］等通過研究拋物面形狀壓頭的接觸深度、壓痕深度和卸載后殘余壓痕深度之間的關系，根據彈性理論，提出了接觸深度hc的計算公式：

式中：hm為最大壓入深度；Fm為最大壓痕載荷；S為卸載斜率；β為與壓頭形狀有關的參數，對于球形壓頭，β＝0.75。

對于半徑為R 的球形壓頭，其壓痕硬度H 的計算公式為：

式中：F 為壓痕載荷。

由于Oliver-Pharr方法（簡稱O-P 法）快捷方便，易于實現，在工程上得到了廣泛應用，是現有商品化納米壓痕儀中計算壓痕硬度的通用方法。

圖1 壓痕的載荷-位移曲線和堆積/沉陷示意Fig.1 Load-depth curves （a）and pile-up/sink-in sehematic of indentation（b）

對于彈塑性材料，最大壓痕載荷Fm和卸載斜率S 永遠是正值。由式（1）可知，接觸深度hc總是小于最大壓入深度hm，即在壓痕接觸邊沿總是呈現材料沉陷狀態，如圖1（b）右側所示。然而，在實際工程應用中并非都如此。例如，對于比較軟的材料，在壓痕接觸邊沿可能會出現材料堆積，如圖1（b）左側所示，此時接觸深度hc就會大于最大壓入深度hm。此時如果采用式（1）來計算接觸深度，就會產生很大的誤差。因此，用基于O-P法獲得的投影接觸面積來計算硬度的納米壓痕儀只適用于材料沉陷的情況。但是，由于該方法簡單、方便，目前不少學者仍采用該方法研究壓痕硬度。

自從鄭哲敏［7］將量綱分析引入到硬度的分析中后，不少學者開始采用該方法來分析、研究壓痕的響應過程。有些學者采用尖壓頭來研究納米材料壓痕硬度的計算方法，由于尖壓頭在使用過程中存在磨損，使得其形狀發生變化，因此在使用中需要對其接觸面積進行標定［8-10］；有些學者采用球壓頭來研究材料的力學性能，但在計算過程中，需要計算殘余壓痕深度，這對其測量精度提出了較高的要求［11-13］。為了提高計算精度以及減小測量誤差帶來的影響，作者采用量綱分析法擴展了彈塑性球形壓痕接觸的無量綱函數，通過分析彈性模量、壓痕硬度與材料特性、壓痕參數及響應的約束關系，建立了基于能量法計算材料彈性模量和壓痕硬度的方法。

1 理論分析

假定剛性球壓頭的半徑為R，垂直壓入各向同性的彈塑性硬化材料（彈性模量E、屈服強度σy、應變硬化指數n）中，球壓頭與被測材料之間為無摩擦接觸，并且被測材料中不存在殘余應力。下面分別對球形壓痕接觸的加、卸載過程進行詳細的量綱分析，以建立壓痕響應與材料性能、壓痕參數之間的無量綱函數關系。

在球形壓痕加載過程中，壓痕載荷F 和接觸深度hc是材料性能參數和壓痕參數的函數，其函數表達式分別為：

式中：h為壓入深度；ν為泊松比。

根據量綱分析和Π 定理，式（3）和式（4）分別可以改寫為：

式中：Πα和Πβ分別為三個無量綱參數E＊／σy、n 和h／R 的 無 量 綱 函 數；E＊為 等 效 彈 性 模 量，E＊＝E／（1-ν2）。

由式（5）可得在加載過程中，外力做的總功Wt：

式中：Πφ為無量綱參數E＊／σy、n 和h／R 的無量綱函數。

當壓頭加載到最大壓入深度hm后，即開始卸載。因此，在卸載過程中，卸載載荷Fu和hm有關。根據量綱分析及Π 定理，有如下公式：

式中：Πξ為無量綱參數E＊／σy、n、h／R 和hm／R 的無量綱函數。

在卸載過程中，彈性恢復功Wu為：

式中：Πφ為無量綱參數E＊／σy、n 和h／R 的無量綱函數；hr為殘余壓痕深度。

對于一個完整的加載-卸載循環，不可逆功Wp和加載功Wt之比為：

式中：Πγ為無量綱參數E＊／σy、n 和h／R 的無量綱函數。

在最大壓入深度hm時，由式（5）和式（6）可得到最大壓痕載荷Fm和接觸深度hc，將它們代入式（2）中，得壓痕硬度H 表達式：

式中：Πκ為無量綱參數E＊／σy、n 和h／R 的無量綱函數。

上式可改寫為：

從式（10）和（12）可看出，Wp／Wt和H／E＊都是三個無量綱參數E＊／σy、n和hm／R 的無量綱函數。

2 有限元分析

2.1 有限元模型

由于彈塑性材料的球形壓痕接觸沒有解析解，故通常采用有限元仿真來分析該問題。在壓痕試驗中，存在接觸非線性、材料彈塑性變形的非線性和幾何變形的非線性，而ABAQUS 軟件在非線性仿真計算方面有著比較精確和快速的優勢，因此采用ABQAUS 6.11軟件對壓痕接觸過程進行有限元仿真分析。

在仿真分析中，為了獲得比較全面的結論，選擇了96種不同材料的參數以保證能覆蓋工程中常用的材料，其彈性模量和屈服強度的比值范圍為30～1 000，泊松比對壓痕試驗的載荷-位移曲線影響較小，而且大部分工程材料的泊松比近似為0.3，因此泊松比ν 取0.3，硬化指數n 分別取0，0.1，0.3，0.5。其本構關系為：

式中：σ為應力；ε為應變；K 為強度系數，根據連續性條件，K ＝σy（E／σy）n。

在采用ABAQUS有限元軟件進行分析時，為提高效率、減小工作量，將模型簡化為軸對稱結構，并設置為大變形模式。球形壓頭直徑為1.588mm（標準布氏硬度計壓頭）。當試樣半徑與接觸半徑之比大于100時，邊界約束對壓痕區域的應力分布無影響，因此定義圓柱試樣的直徑為20mm，高度為10mm。在壓頭和試樣的對稱軸上添加軸對稱約束，在試樣底部施加水平約束，防止試樣在z軸上的運動，但其可以在r方向上運動，如圖2所示。壓入深度通過對壓頭施加z向位移來實現。為獲得比較精確的結果，在接觸區域附近采用三節點單元，而遠離接觸區域采用4節點單元，共劃分成9 725個單元。

圖2 壓痕硬度測試的有限元模型Fig.2 Finite element model of indentation hardness testing

在有限元模擬中，根據其歷程輸出來獲得壓痕的載荷-位移曲線，從而得到最大壓痕載荷和最大壓入位移。接觸深度通過查詢接觸邊界的接觸節點和分離節點的坐標值來確定。總的加載功和彈性恢復功通過對加載和卸載曲線所包圍的區域進行積分計算獲得。

2.2 無 量 綱 函 數Wp／Wt、H／E＊與E＊／σy、n 和hm／R之間的關系

從圖3 可以看出，不可逆功與加載總功之比Wp／Wt隨著E＊／σy和hm／R 的增加而增加，隨著n的增加而減小。因為n 的增加，使得材料的彈性增強，壓痕區域的塑性變形區域減小，彈性變形區域增大，因此，其彈性恢復功也相應增加。而隨著E＊／σy的增加，材料更容易發生屈服，在同樣的壓入深度下，發生屈服的區域較大，因此，其不可逆功增加。同樣，隨著hm／R 的增加，塑性區域也相應增大，不可逆功也相應增加。

從圖3中還可以發現，若E＊／σy＜200，Wp／Wt變化較快，特別是E＊／σy＜100 時，幾乎呈線性變化；而E＊／σy＞600后，Wp／Wt變化很小，最后趨于某一定值。這是因為，當E＊／σy→0時，材料屬于彈性材料，在壓頭壓入過程中，處于彈性接觸狀態，在完全卸載后，彈性變形完全恢復，而且沒有塑性變形，此時Wp／Wt→0；隨著E＊／σy增加，塑性變形量迅速增大，因此Wp／Wt增加很快。當E＊／σy→∞時，材料屬于完全塑性材料，在壓頭壓入過程中，材料不會發生彈性變形，因此在卸載過程中，Wu→0，即Wp／Wt→1。

圖3 無量綱函數Wp／Wt與E＊／σy、n和hm／R 之間的關系Fig.3 Relationship between Wp／Wtand E＊／σy，nand hm／R

由圖4可見，H／E＊隨著E＊／σy的增大而減小，隨著n的增加而增加。而H／E＊與hm／R 無關，這是因為在仿真中定義材料的硬化特性為各向同性，因此硬度與壓入深度無關。

從 圖4 中 還 可 以 看 出，當E＊／σy＜200 時，H／E＊變化較快，特別是E＊／σy＜100時，幾乎呈線性變化；隨著E＊／σy的增加，H／E＊變化很小，最后趨于某一定值。這是因為，當E＊／σy→0時，材料屬于完全彈性材料，H／E＊→∞；隨著E＊／σy增大，材料的塑性變形能力增強，因此H／E＊迅速下降。當E＊／σy→∞時，材料屬于完全塑性材料，即H／E＊→0。比較圖3和圖4 可以發現，Wp／Wt和H／E＊與E＊／σy、n、hm／R 之間的函數關系具有某些相似的特性，這表明Wp／Wt和H／E＊之間存在某種直接的聯系。

圖4 無量綱函數H／E＊與E＊／σy、n和hm／R 之間的關系Fig.4 Relationship between H／E＊and E＊／σy，n and hm／R

2.3 H／E＊與Wp／Wt之間的關系

由于在壓痕形成過程中，材料的堆積／沉陷程度與E＊／σy、n和hm／R 相關，這就導致確定加載過程中的接觸面積比較困難。因此，可以考慮能否建立H／E＊與Wp／Wt之間的函數關系來獲得材料的壓痕硬度。從圖5 可以看出，對于某個確定的hm／R值，Wp／Wt和H／E＊之間呈近似線性關系，與材料的E＊／σy和n無關。

圖5 Wp／Wt與H／E＊之間的關系Fig.5 Relationship between Wp／Wtand H／E＊

根據圖5所示的曲線形狀，定義其擬合函數關系式：

式中：B 為hm／R 的函數。

由式（14）可知，對于某個壓入深度，H／E＊和Wp／Wt之間存在一一對應的關系。若已知等效彈性模量，根據壓痕的載荷-位移曲線數據，采用該關系式就可以計算出材料的壓痕硬度。

3 彈性模量和壓痕硬度的計算

3.1 正 演

根據上述分析，只要根據壓痕的載荷-位移曲線，獲得加載功Wt和卸載功Wu，加上壓痕參數和材料的彈性模量，就可以利用式（14）計算出材料的壓痕硬度H。

將式（15）代入到式（14）中，并將其進行適當變換，得到式（16）：

Love和Sneddon［14］研究分析了不同幾何形狀的剛性壓頭與彈性半空間的接觸，并根據彈性接觸理論，認為等效彈性模量E＊與初始卸載斜率S 和接觸面積Ac之間存在如下關系：

雖然式（17）是根據剛性圓錐壓頭推導出來的，但是，Bulychev等［15］學者認為該公式也可以用于球壓頭，Cheng［16］指出該式也同樣適用于具有硬化特性的材料。

此外，Bolshakov等［17］采用有限元仿真技術分析了剛性圓錐壓頭與彈塑性材料的壓痕接觸，并采用式（17）計算了材料的彈性模量，結果發現彈性模量的計算值比實際值大5%～15%。因此，提出了該式的修正式：

式中：β為修正系數，與壓頭的幾何形狀和材料的泊松比有關［18］。

根據有限元的仿真結果，可以繪制出Ac與S／E＊之間的函數關系曲線，如圖6所示。需要指出的是，圖6中包括了不同材料參數（E＊／σy、n）和不同壓入深度hm／R 的仿真數據。

圖6 Ac與S／E＊之間的函數關系Fig.6 Relationship between Acand S／E＊

采用式（18）對圖6的所有數據點進行擬合，得到β＝1.051 5。

根據壓痕硬度的定義公式：H＝Fm／Ac，以及式（16）和（18），可以得到：

由于Fm、hm／R、Wu／Wt和S 都可以直接從載荷-位移曲線中得到，因此等效彈性模量E＊和壓痕硬度H 可以分別通過式（19）和（20）獲得。可見，采用該方法可以方便、快速地獲得壓痕硬度和彈性模量。而且從上述等式中可以看出，壓痕的接觸深度hc并沒有出現在上述兩式中，這樣就避免了壓痕周圍材料堆積／沉陷帶來的影響。因此，采用能量法可以提高壓痕硬度的計算精度。

3.2 反 演

根據前面的分析可知，只要獲得了壓痕加載和卸載過程的載荷-位移曲線，壓痕的特征參數Fm，hm，Wt，Wu和S 就可以計算得到。根據式（19）和（20）即可計算出材料的性能參數E 和H。

為了驗證該方法的有效性，分別對不同性能的材料進行數值反演，其結果如表1所示，表1中硬度的理論值是根據有限元仿真得到的投影面積計算獲得。從表中可以看出，根據式（19）和（20）計算的彈性模量E 和壓痕硬度H 的計算值和理論值之間的誤差較小，最大誤差分別不超過4%和8%。

表1 彈性模量和壓痕深度的反演結果Tab.1 Reverse results of elastic modulus and indentation hardness

3.3 敏感性分析

由于在實際試驗中，測量和計算都會產生一定的誤差，這些誤差都將會對最后的計算精度產生影響。為了研究測量和計算誤差對最后計算值的影響，人為給定Wt，Wu和S 各2%的誤差來分析它們對E 和H 精度的影響。首先假定Wt有2%的誤差，其它幾個值沒有誤差，采用反演算法計算E 和H，結果如表2所示。同樣，其它兩個參數采用類似的方法進行分析。從表中的結果可以看出，Wt，Wu和S 的誤差對E 和H 的計算結果影響較小，最大誤差未超過10%。

從上面的分析可以看出，采用能量法測材料的彈性模量和壓痕硬度，其測試精度是可以滿足工程要求的。

3.4 不同壓痕硬度計算方法的對比

Gao等提出了壓痕硬度的計算公式［19］：

式中：a為壓痕半徑。

分別采用式（21）、基于能量法推導的式（20）以及O-P法計算壓痕硬度，并進行對比，如圖7所示。可見，采用式（20）能量法計算的壓痕硬度與采用式（21）計算得到的最大誤差不超過10%。對于比較硬的材料，O-P法獲得的壓痕硬度和式（21）計算得到的誤差比較小；而對于比較軟的材料，用O-P 法獲得的壓痕硬度明顯偏大，其主要原因就在于該方法在計算接觸深度時沒有考慮材料堆積的現象，從而導致計算得到的投影接觸面積偏小，其最大誤差達到了18%。

圖7 不同方法計算得到的壓痕硬度對比Fig.7 Indentation hardness obtained by different methods

4 結 論

（1）基于能量法，根據量綱分析法和Π 定理，推導了壓痕功（Wp和Wt）、壓痕硬度與壓痕參數、材料特性之間的無量綱函數；通過對無量綱函數關系進行分析，建立了無量綱壓痕函數H／E＊和Wp／Wt之間線性關系。

（2）根據卸載斜率和接觸面積之間的線性關系，建立了壓痕函數和彈性模量的解析模型，再結合壓痕的載荷-位移曲線，就可以計算得到材料的彈性模量和壓痕硬度。

（3）基于能量法計算的壓痕硬度和彈性模量比較準確；與O-P 法相比，基于能量法的壓痕硬度計算精度更高些。

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