基于聚類分析的多面函數(shù)擬合高程異常方法

孫佳龍，焦明連，梁青科

(1.淮海工學院測繪工程學院，江蘇連云港222001;2.山東里能魯西礦業(yè)有限公司，山東濟寧272053)

一、引 言

隨著GPS測量技術的不斷發(fā)展和完善，求取高精度的高程異常在實際工程應用中越來越重要［1］。目前常用的高程異常擬合方法主要有多項式擬合法、移動二次曲面擬合法和多面函數(shù)擬合法等［2-3］。在擬合區(qū)域較小的情況下，一般擬合方法可以達到較高的精度，但由于這些方法未顧及似大地水準面的物理性質(zhì)，擬合出的曲面只是高程異常的趨勢面，與高程異常的實際數(shù)值存在一定差異［4］。多面函數(shù)在理論上可以以任意精度逼近任意復雜曲面，因此可以更加逼近實際的高程異常曲面［5］。但由于多面函數(shù)中心點的個數(shù)及中心點的選擇對擬合精度影響較大，而其選擇目前又尚無可靠的理論依據(jù)，為此本文提出了基于聚類分析的多面函數(shù)擬合法，對中心點的個數(shù)和中心點進行有效選取，使不同的中心點建立不同的多面函數(shù)模型，并從中選取最優(yōu)模型作為最后的擬合模型。

二、多面函數(shù)

多面函數(shù)的理論依據(jù)是：任意數(shù)學表面與任意不規(guī)則的圓滑表面，總可以利用一系列的有規(guī)則的數(shù)學表面總和，以任意精度逼近。因此，由多面函數(shù)表示的殘差高程異常為［4-5］

式中，aj是待定系數(shù);q(x，y，xj，yj)是x和y的二次函數(shù)，其中心點在(xj，yj)處;n是中心點的個數(shù);ζ可由二次式的和確定，故稱多面函數(shù)。

用一組簡單的解析函數(shù)的線性組合對這個曲面進行逼近，通常選擇多元二次函數(shù)作為解析函數(shù)，其形式為［6］

式中，δ為圓滑因子，也稱光滑系數(shù)，通常可取一小正數(shù)或零;b可選取某個非零實數(shù)，通常為或。

將式(2)寫成誤差方程，并用矩陣表示為

待定系數(shù)A可根據(jù)已知GPS/水準數(shù)據(jù)和地球重力場模型得到的殘差高程異常，按最小二乘法計算，即

由此可根據(jù)系數(shù)A和式(1)求解其他點的殘差高程異常。

三、基于聚類分析的多面函數(shù)

在式(1)中，由于選擇的中心點個數(shù)n小于或等于已知的高程異常值的個數(shù)，因此需要對所有的高程異常值進行選取。人為選取高程異常值既耗時又費力，且容易出錯。因此，合理有效地選取高程異常值，使這些高程異常能很好地表示該區(qū)域的高程異常變化就顯得尤為必要。聚類分析是對樣本進行分類的一種多元統(tǒng)計方法，是從樣本中發(fā)現(xiàn)有用信息的一種有效手段［7-8］。由于聚類分析能夠發(fā)現(xiàn)全局的分布模式及數(shù)據(jù)屬性之間相互關系，因此，本文利用聚類分析方法，以歐氏距離作為相似性統(tǒng)計量。考慮到高程異常曲面不僅與樣本點的地理位置有關，還與該點的高程異常值的大小有關，因此，本文以三維歐氏距離作為相似性統(tǒng)計量［7］，即

式中，xi、yi、ξi為Pi點的坐標和高程異常;d 為距離。由于高程異常的單位與坐標單位不同，在進行聚類分析之前需將高程異常數(shù)據(jù)進行規(guī)格化處理［9-10］

式中，i=1、2、3;P為規(guī)格化處理后的高程異常所對應的坐標和高程異常值。以某地區(qū)12個高程異常數(shù)據(jù)點為例，規(guī)格化處理后的各點的坐標和高程異常值如圖1所示。

圖1 規(guī)格化后的高程異常

從圖1中可以看出，1、2和8號點的高程異常圖形基本一致，4、5和6號點的殘差高程異常圖形也基本一致，而9和10號點的殘差高程異常值的變化趨勢也基本相同。因此，將以上幾類數(shù)據(jù)分別聚類是合適的。11、12號點的殘差高程異常與其他各點差異較大，當分類數(shù)較多時不宜歸入其他類中。利用聚類分析，得到的聚類結(jié)果如圖2所示。

圖2 高程異常聚類樹

從高程異常聚類樹圖中可以看出，1、2，4、5和9、10被首先歸入一類，說明這幾組數(shù)據(jù)相似性較大;8號點與1和2號點相似性也較大，因此8號點也被歸入1和2號點這一類中;6號點與4和5號點也較為相似，因此6號點也被歸入到4和5號點這一類;11和12號點相似性較小，直到最后所有數(shù)據(jù)被分為兩類時，這兩點才被歸入一類。由此可以看出，聚類分析的結(jié)果與實際各點的相似情況基本吻合，因此利用聚類分析可以有效地對高程異常數(shù)據(jù)進行分類。

四、算例分析

某地區(qū)D級GPS控制網(wǎng)布設了17個觀測點，對其進行了GPS觀測和三等水準測量，利用GPS獲得的大地高和水準測量得到正常高，以及17個GPS/水準點的高程異常。利用其中12個數(shù)據(jù)進行聚類分析，得到的分類數(shù)作為多面函數(shù)中心點的個數(shù);從每個聚類中選取歐氏距離最長的高程異常作為多面函數(shù)中心點，構建多面函數(shù)。以另外5個點的數(shù)據(jù)作為外部檢核。外符合精度為

式中，νi為檢核點實測高程異常與擬合高程異常的差值;m為檢核點個數(shù)。檢核結(jié)果見表1。

表1 基于聚類分析的多面函數(shù)外部檢核結(jié)果 mm

從表1中可以看出，分類數(shù)從2開始增大時，多面函數(shù)擬合的精度有所提高;當分類數(shù)為5時，精度最高，達到3.5 mm;隨著分類數(shù)繼續(xù)增加，精度又開始下降;當分類數(shù)為11時，精度最低，為152.8 mm。由此說明，通過對樣本數(shù)據(jù)進行有效分類，并依此選取多面函數(shù)的中心點，可以有效地提高多面函數(shù)的擬合精度。為了綜合評價基于聚類分析的多面函數(shù)的擬合精度，本文還利用同樣的數(shù)據(jù)，以多項式曲面擬合、移動曲面擬合和多面函數(shù)擬合這3種常用的曲面擬合模型作為參考模型，比較各種模型之間的擬合精度(見表2)。

表2 擬合結(jié)果殘差比較m

從表2中可以看出，移動二次曲面擬合的結(jié)果中，殘差最大值為0.15 m，為各種擬合函數(shù)中的最大值，其標準差和外符合精度也都最大，說明移動二次曲面擬合的精度在4種方法中最差。5種評價指標都顯示，聚類分析多面函數(shù)擬合的精度是最高的，其外符合精度最高，達到0.003 5 m。各個檢核點的高程異常殘差值如圖3所示。

圖3 4種擬合方法得到的高程異常殘差值

從圖3中可以看出，移動二次曲面在5個檢核點的高程異常殘差值波動較大，說明該函數(shù)模型未能很好地表示該區(qū)域的高程異常變化趨勢。而聚類分析多面函數(shù)在檢核點的高程異常殘差變化很小，說明聚類分析多面函數(shù)比較準確地反映了該區(qū)域高程異常的變化趨勢，是一種比較好的擬合方法。

五、結(jié)束語

本文研究了基于聚類分析的多面函數(shù)擬合法，其將差異較小的數(shù)據(jù)歸入同類，將聚類分析的分類個數(shù)作為中心點的個數(shù)，將差異明顯的數(shù)據(jù)作為中心點，使多面函數(shù)中心點的選取更為合理和有效，在一定程度上提高了多面函數(shù)的擬合精度。

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