質數傳奇

陳重威

數學家的“帽子戲法”

假如你覺得身份證號碼、手機號碼太長，記憶起來費勁的話，那么今年初由美國科學家發現的最大質數，會讓你更頭疼。該質數一共有17425170位。這個1700多萬位的數字有多大呢？如果以每天寫12個小時，每秒1位的速度手寫，全部寫完需要一年多的時間。如果用普通的五號字將它連續打印下來，它的長度可超過65千米。

經過了四年的空檔期之后，數學家終于發現了這個新的，同時也是已知的最大的質數。這一發現要歸功于美國中央密蘇里大學的柯蒂斯·庫珀教授的工作，用足球迷的話來說，這位數學家也完成了“帽子戲法”，因為前兩個最大的質數也是他發現的。

數海明珠

質數，又叫素數，指的是只有1和它本身兩個約數的大于1的自然數。例如，2、3、5、7、11等都是質數。因為它們不能被除了l和它本身之外的任何數整除。

質數有無限個。人類在公元前300年的時候就知道了這～點，是古希臘數學家歐幾里得首次證明了這一結論。此次發現的質數，不僅是目前已知的最大的質數，而且還是很少見的梅森質數。所謂梅森質數，是指能夠寫成“2^p-1”即2的P次方減l形式的質數，其中的P也是質數。以此次發現的最大質數為例，它可以寫成2的57885161次方減1，其中57885161本身也是一個質數。

這種特殊形式的質數，具有獨特的性質和無窮的魅力，千百年來一直吸引著包括費馬、笛卡兒、萊布尼茲、哥德巴赫、歐拉、高斯、哈代、圖靈等眾多數學家和無數數學愛好者對它進行探究。其中17世紀的法國數學家馬林·梅森是成果較為卓著的一位，因此數學界將能夠寫成“2^p-1”形式的質數稱為“梅森質數”。迄今為止，人們僅發現了48個梅森質數。例如，在從l到2的25964951次方減1之間的所有自然數中，有1622441個質數，其中只有42個是梅森質數。正因為梅森質數稀少而又迷人，所以被人們稱為“數海明珠”。

互聯網梅森質數大搜索

雖然質數的個數有無窮多，但并沒有公式來產生這些數值，因此發現新的質數需要大量的計算。雖然梅森質數貌似簡單，但當指數P值較大時。其探究難度就會很大。特別值得一提的是，1772年，人稱“數學英雄”的瑞士數學家歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了2的31次方減1，即2147483647是第8個梅森質數。這個具有10位的質數，堪稱當時世界上已知的最大質數。在整個“手算筆錄”的年代，人們僅找到12個梅森質數。

為了加速梅森質數探究的進程，1996年初，一位美國數學家編制了一個尋找梅森質數的計算機程序，并把它放到了互聯網上，供全球數學家和數學愛好者免費使用。它就是舉世聞名的“互聯網梅森質數大搜索”項目。任何人都可以從www.mersenne.org網站上下載這一軟件，并利用自己的計算機來尋找更人的質數。

目前，世界上共有180多個國家和地區，近27萬人參加了這一國際合作項目；該項目利用志愿者的電腦對每一個質數候選值按順序進行篩選，直到某個幸運者發現新的質數。迄今為止，該項目已找到了14個梅森質數，其發現者來自美國、英國、法同、德國、挪威和加拿大。這次由庫珀領導的研究小組，在大約1000臺大學里的計算機上運行“互聯網梅森質數大搜索”的軟件，每臺計算機都不j間斷地用了39天時間來證明這個有1700多萬位的數值是個梅森質數。隨后，運行其他不同軟件的高級計算機證實了他的發現。

梅森質數有什么用

很多人都會問，費這么大的勁尋找質數，找到的質數究竟有什么用呢？或許就其本身而言，質數對數學家并沒有什么價值，但它們因為難找而出了名。用一位美國科學家的話來說：“這有點像發現鉆石。出于某種原因人們認為它就像鉆石，因此它們就有了價值。”事實上，搜尋梅森質數并非一種神秘的消遣，也不是一場網絡游戲；對它的探究直接推動了人稱“數學皇后”的數論的研究。并促進了計算技術、密碼技術、網絡技術、程序設計技術的發展。

人們都習慣地相信計算機運算的結果一定是可靠的準確無誤的，但很少有人知道科學家經常在用梅森質數來測試計算機硬件的運算是否正確。既然梅森質數如此難以尋找，因此也理所當然地在加密技術中起著支撐作用，成為密碼專家編碼的“鑰匙”，用以編制那些關乎國家重要機密的密碼，或確保網上重大交易安全的密碼。

由于梅森質數的探究需要多種學科和技術的支持，所以許多科學家認為，梅森質數的研究成果，在一定程度上反映了一個國家的科技水平。一位英國頂尖科學家甚至認為，梅森質數的研究進展標志著科學發展的里程碑。

不是為了獎金

為了激勵人們尋找梅森質數和促進網絡技術發展，總部設在美國的電子新領域基金會，于1999年設立了專項獎金，懸賞參與“互聯網梅森質數大搜索”項目的梅森質數發現者。它規定向第一個找到超過100萬位數的梅森質數的個人或機構頒發5萬美元。后面的獎金依次為：超過1000萬位數，10萬美元；超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。庫珀教授因為發現了這個最大的梅森質數而獲得了3000美元的獎金。不過，絕大多數人參與該項目并不足為了獎金，而是出于好奇心、求知欲和榮譽感。”

歐拉的故事

在本文提到的著名數學家中，歐拉是一位了不起的英雄。1707年4月15日，歐拉出生于瑞士的巴塞爾，父親是一位鄉村窮牧師，一心想讓聰穎的歐拉學習神學，以承父業。而歐拉最喜愛的卻是數學。為了不使父親傷心，小歐拉經常等到父親熟睡后，再偷偷地起來做數學題，或者在數學書外面套一張圣經的書皮，以逃避父親的注意。

但父命難違。1720年，13歲的歐拉還是按照父親的意愿，考入了巴塞爾大學學神學。當時，杰出的數學家、物理學家伯努里正在該校執教。他的講課旁征博引、生動風趣、極富魅力，吸引了許多外系學生來旁聽。歐拉便是其中最忠實的一個。有一次，伯努里教授在講課時，無意中提到一個當時數學家還沒能解決的難題。沒有想到，這個13歲的孩子課后交來了一份關于該難題的解答，盡管還有不嚴謹之處，但構思非常精巧，論述恢宏大氣。伯努里教授非常驚喜，當即決定，每星期在家里單獨為歐拉授課一次。

1723年，16歲的歐拉成了這所古老的大學有史以來最年輕的碩士。但父親執意要歐拉放棄數學，把精力用在神學上。在這決定人生方向的關鍵時刻，伯努里教授動情地對固執的父親說：“親愛的神甫，您知道我遇到過不少才氣洋溢的青年，但是要和您的兒子相比，他們都相形見絀。假如我的眼力不錯，他無疑是瑞士未來最了不起的數學家。為了數學，為了孩子，我請求您重新考慮您的決定。”父親被打動了。從此，歐拉和數學終身相伴。