基于蒙特卡洛法的砝碼校準不確定度評定

韓志國，李鎖印，馮亞南，許曉青

(中國電子科技集團公司第十三研究所，河北 石家莊050051)

0 引言

測量是以確定量值為目的的一組操作。測量結果受人員、測量系統、測量程序、環境以及其它的因素影響而存在測量不確定度。測量不確定度是與測量結果相關聯的、表征合理的、賦予被測量值分散性的參數。ISO/IEC 發布的Guide98 －3 －2008 《測量不確定度表示指南》 (GUM)給出了測量不確定度評定與表示的通用方法。2008 年，計量指南聯合委員會(JCGM)在GUM 方法的基礎上推出了補充件——采用蒙特卡洛法評定測量不確定度，將蒙特卡洛法作為對GUM 方法的重要補充。我國新頒布的JJF1059.2 －2012《采用蒙特卡洛法評定測量不確定度》就是依據該補充件進行編制的。該規范規定了用蒙特卡洛法評定與表示測量不確定度的方法，并就GUM 中未涉及的概率分布傳播的問題提供指導，擴大了測量不確定度評定與表示的適用范圍，同時該規范提供了檢查GUM 法是否適用的驗證方法。

1 蒙特卡洛法介紹

在測量不確定度的評定中采用的蒙特卡洛法(MCM)是一種通過重復采樣實現分布傳播的數值方法。與GUM 法利用線性化模型傳播不確定度的解析方法不同，MCM 通過對輸入量Xi的概率密度函數(PDF)離散采樣，由測量模型傳播輸入量的分布，計算獲得輸出量Y 的PDF 的離散采樣值，進而由輸出量的離散分布數值直接獲取輸出量的最佳估計值、標準不確定度和包含區間。該輸出量的最佳估計值、標準不確定度和包含區間等特性的計算質量隨PDF 采樣數增加可得到改善。

圖1 描述的是，由輸入量Xi(i =1，…，N)的PDF，通過模型傳播，給出輸出量Y 的PDF 的一個過程示意。圖1 列出了分別為相互獨立的正態分布、三角分布和正態分布的3 個輸入量，而輸出量的PDF 顯示為分布不對稱的情形。

圖1 輸入量獨立時分布傳播的描述

當測量模型是線性的，且輸出量概率分布是正態分布時，GUM 方法可以提供準確的不確定度和包含區間。但是，如果輸出量的結果是圖1 所示的不對稱的情形，那么采用GUM 方法進行不確定度評定時可能就會得出不切實際的包含區間，此時采用蒙特卡洛法就是有效的替代方法。由于使用蒙特卡洛法進行不確定度評定時需要對概率分布進行隨機采樣，因此進行不確定度評定時，應利用合適的軟件進行計算 (例如MATLAB)。

2 用蒙特卡洛法評定砝碼校準不確定度

雖然GUM 法在許多情況下被認為是非常適用的，但是確定是否滿足其所有應用條件并不總是一件容易的事。由于MCM 的適用范圍比GUM 法更廣泛，建議用MCM 及GUM 法兩種方法同時進行不確定度評定，并對結果進行比較，如果比較結果較好，則GUM 法適用于此場合及今后足夠類似的情形，否則，應考慮采用MCM 或者其它合適的替代方法。

下面以本實驗室2012 年在砝碼能力驗證中校準100g 砝碼為例，介紹一下如何使用MCM 方法進行不確定度評定。本次校準使用的標準砝碼為E2等級100g砝碼，天平為TG328A 型機械天平。

2.1 建立測量模型

本次測量使用的是雙次替代法，用密度為ρr的標準砝碼R 對密度為ρt的砝碼進行校準，兩個砝碼標稱值相同，需要在密度為ρa的空氣中進行平衡配重。通常ρt和ρr不同，因此需考慮浮力的影響，應用阿基米德定律，得到模型如下

式中:ms是密度為ρr靈敏度小砝碼質量，用來測量機械天平的分度值。ΔI 為被測砝碼與標準砝碼標尺讀數偏差;ΔIs為放上靈敏度小砝碼后，標尺偏離的讀數。以折算質量mct，mcr，mcs為變量，模型(1)轉變為

將公式(2)整理得

設Δmc= mct－ mnom為mct與標稱質量mnom=100 g的偏差。因此本例中使用的模型為

2.2 確定輸入量的概率密度分布函數(PDF)

可根據一系列測量值的分析，或根據某些歷史數據、校準數據和專家判斷之類的信息所得到的科學判斷，為各輸入量設定PDF。各輸入量服從的分布、最佳估計值以及標準不確定度均列入表1。其中ρa0=1.2 kg/m3，是約定空氣密度，不包含不確定度。

表1 關于質量校準模型的輸入量及其概率密度函數

表1 中，標準砝碼的相關信息是通過檢定證書和JJG99 －2006 《砝碼檢定規程》得到。ΔI 與ΔIs的相關信息是通過使用雙次替代法重復測量10 次得到。砝碼的密度信息是通過JJG99 －2006 《砝碼檢定規程》中給出的典型材料密度表中查表得到。空氣密度ρa的信息是由JJG99 －2006 《砝碼檢定規程》中得到。

2.3 蒙特卡洛試驗次數

在規定的數值容差下MCM 所提供的結果所需的試驗次數跟輸出量的PDF “形狀”及包含概率有關，應合理選擇蒙特卡洛試驗次數及樣本量的大小M，一般情況下取M=106，這樣通常會為輸出量提供95%包含區間，該包含區間長度被修約為1 或2 位有效十進制數字。

2.4 程序

本程序是使用MATLAB 進行編制的，具體如下:

clc;clear; %清除MATLAB 中的變量。

M=1000000; %設定蒙特卡洛試驗次數。

m0 =100; %砝碼標稱質量(單位:g)。

dr=0.04; %標準砝碼折算質量修正值(單位:mg)。

ur=0.033; %標準砝碼不確定度(單位:mg)。

mr=normrnd ((m0* 10^3 +dr)，ur，1，M); %標準砝碼采樣值(單位:mg)。

ms=normrnd (10，0.002，1，M); %靈敏度小砝碼采樣值(單位:mg)。

dI= normrnd (4.2，0.2，1，M); % 讀數重復性 (單位:格)。

dIs = normrnd (99.6，0.3，1，M); % 靈敏度讀數重復性(單位:格)。

rou0 =normrnd (8，0.07，1，M); %標準砝碼材料密度(g/cm3)。

rou1 =normrnd (8，0.07，1，M); %被檢砝碼材料密度(g/cm3)。

ra=0.24* rand (1，M) +1.08; %空氣密度(mg/cm3)。

r0 =1.2; %標準空氣密度(mg/cm3)。

dm= (mr+dI.* ms. /dIs). * (rou0* 10^3 －ra). * (rou1*10^3 －r0). / ((rou1* 10^3 －ra).* (rou0* 10^3 －r0)) －m0

* 10^3;%雙次交換衡量法數學模型。

s=std (dm); %輸出量標準不確定度。

avg=mean (dm); %輸出量估計值。

y=sort (dm); %將試驗結果從小到大進行排列。

y_ low=prctile (y，2.5); %包含概率為95%時，包含區間的下限值。

y_ high=prctile (y，97.5); %包含概率為95%時，包含區間的上限值。

2.5 報告結果

MATLAB 程序運行得到如下結果:

被校砝碼折算質量偏差為0.46 mg;標準不確定度為0.04 mg;包含概率為95%;包含區間為［0.38 mg，0.54 mg］。圖2 給出了上述程序得到的輸出量的近似概率分布。圖中，柱狀圖是輸出量的近似概率分布，實線是正態分布曲線，可見輸出量近似服從正態分布。

圖2 輸出量近似概率分布

3 蒙特卡洛法與其它不確定度評定方法的比較

3.1 GUM 法評定砝碼校準不確定度

由于使用偏導的解析計算對公式(4)求偏導過于復雜，因此將公式(4)作近似處理，得

對上述模型求偏導，得到各輸入量靈敏系數如下:

則合成標準不確定度為

將表1 中輸入量的相關信息帶入上式，計算得uc=0.04mg，取包含概率為95%，得到如下結果:

被校砝碼折算質量偏差為0.46 mg;標準不確定度為0.04 mg;包含概率為95%;包含區間為［0.38 mg，0.54 mg］。

3.2 JJG99 －2006 《砝碼檢定規程》中的方法評定砝碼校準不確定度

規程中認為砝碼的校準不確定度由以下幾個方面引入:衡量過程，標準砝碼，空氣浮力修正，天平。各不確定度分量列入表2。

表2 測量不確定度分量一覽表

取包含概率為95%，得到如下結果:

被校砝碼折算質量偏差為0.46 mg;標準不確定度為0.05 mg;包含概率為95%;包含區間為［0.36 mg，0.56 mg］。

三種方法得到的結果見表3。

表3 砝碼校準計算結果

由三種方法得到的比較結果可知，MCM 與GUM得到的結果一致，而規程給出的不確定度略顯保守。這主要是由于某些不確定度分量被重復計入和計量人員對不確定度分量的不同理解程度而造成的。按照JJF1059.2 －2012 《用蒙特卡洛法評定測量不確定度》中使用MCM 驗證GUM 的要求，GUM 法通過了驗證，在以后進行砝碼校準不確定度評定時，可以使用GUM法進行評定。

4 結論

MCM 尤其適用于以下兩種情況:不宜對測量模型進行線性化等近似的場合，在這種情況下，按GUM 確定輸出量的估計值和標準不確定度可能會變得不可靠;輸出量的概率密度函數較大程度地偏離正態分布或t 分布，例如分布明顯不對稱的場合，在這種情況下，可能會導致對包含區間或擴展不確定度的估計不切實際。另外，如果GUM 法通過了MCM 的驗證，即GUM 法若明顯適用，則GUM 法依然是不確定度評定的主要方法。在實際工作中可以根據實際情況選用合適的方法進行測量不確定度的評定。

［1］國家質量監督檢驗檢疫總局.JJF1059.2 －2012 用蒙特卡洛法評定測量不確定度［S］. 北京:中國計量出版社，2012.

［2］Evaluation of measurement data — Supplement 1 to the“Guide to the expression of uncertainty in measurement”— Propagation of distributions using aMonte Carlo method ［S］. ISO/IEC，2008.

［3］國家質量監督檢驗檢疫總局.JJG99 －2006 砝碼檢定規程［S］. 北京:中國計量出版社，2006.

［4］陳懷艷，曹蕓，韓潔. 基于蒙特卡羅法的測量不確定度評定［J］. 電子測量與儀器學報，2007，25.

［5］倪育才. 實用測量不確定度評定［M］. 北京:中國計量出版社，2010.