數學家喜歡的棋盤趣題

林革

高莫瑞（Gomory，R，E）是當代應用數學家，也是美國著名的IBM公司的高級研究人員，曾擔任經理、部門主任、研究部主任和副總裁之職。20世紀60年代，他以“割平面法”在運籌學的研究領域享有聲譽。

從專業的角度而言，作為數學家的高莫瑞喜歡各類智力問題并不令人驚奇，因為這對于他的研究工作能起到一定的幫助作用。數學愛好者感興趣的是，高莫瑞對各種染色問題情有獨鐘，對其中一些問題的研究和解答，充分顯示出其深厚的數學功底。比如下面這則廣為人知的“國際象棋問題”。

下圖是一個8×8的國際象棋棋盤，已經將對角線上的兩個方格切掉，數學家嘗試用31張多米諾骨牌（是兩個相連正方形的長方形牌）覆蓋剩下棋盤上的62個方格，請問可以辦到嗎？

看上去這個問題很簡單，可只要你動手操作一番后就會發現，無論你如何絞盡腦汁也不能達成題意的要求。事實上，這根本就是個不可能的問題。那是為什么呢？數學家揭示了其中的道理：

每一張骨牌也就是□□，放在棋盤上必然覆蓋住兩個相鄰方格，即蓋住一白一黑，所以31張骨牌蓋住的肯定是31個黑格和31個白格。而國際象棋棋盤上相鄰兩格顏色不同（一黑一白），對角兩格的顏色相同，那么切掉對角線上的兩個方格后，剩下的是30個白格，32個黑格（或32個白格，30個黑格），顯然不能被31張骨牌覆蓋。不難看出，高莫瑞對于這個問題的分析直觀形象，連小學生也能理解接受。

如果你是一個喜歡刨根問底的人，那么就會追問：問題不可能的原因，是由于切掉的是棋盤上兩個顏色相同的小方格，那假如我們從棋盤的任何部位切掉兩個顏色不同的小方格，那么剩下來的62格是否一定能被31張骨牌完全蓋住呢？對此，高莫瑞的肯定回答毋庸置疑，因為數學家對此已經給出一個精妙妥帖的證明。而這個令人嘆服的證明就是上面的這張棋盤路線示意圖：

粗黑線條將整個棋盤轉變為一條首尾相連、黑白格相間的封閉路線。通俗的形容就是，從某個方格出發，繞著這個回路走一圈后又回到起點方格（如上圖中箭頭所示）。從這棋盤上切掉任何兩個顏色不同的方格，會讓這個封閉線路變成兩段線路。這就相當于在一個封閉的回路去掉兩點，回路就成為兩段；當然，如果切掉的方格是上下相連的，那就相當于去掉一點，回路就成為一段不封閉的線路。對此，你可以借助一個圓圈上去掉兩點或一點來直觀理解。

接下來的事情很簡單，就是在這兩段（或一段）線路中，可以清點出黑白相間的兩種小方格的數量都是偶數。這就表明，線路一定能被若干張骨牌即□□覆蓋。應該注意到，骨牌可以豎放也可以橫放，這樣轉彎的地方也不會產生麻煩。到此，證明結束。被挖去黑白各一格的國際象棋棋盤，的確可以被31張骨牌完全覆蓋。

這個生動有趣的棋盤問題是由著名的美國科普大師馬丁·加德納提出，數學家高莫瑞則給出了上述精彩巧妙的證明，一問一答前后呼應，相得益彰堪稱絕配！