非凸情況下發展包含的反周期問題

王俊彥,高順川,王春紅

(1.長春工業大學人文信息學院 數學教研部,長春 130122;2.空軍航空大學 基礎部,長春 130022;3.吉林大學 數學研究所,長春 130012)

關于發展包含的反周期問題目前已有許多研究結果[1-6].本文在文獻[6]的基礎上考慮更一般情況下,當集值函數取非凸值時發展包含解的存在性.

設H是可分的Hilbert空間,V是H的稠子集,具有自反可分的Banach空間結構,且連續地緊嵌入H.等同H及其對偶,有V→H→V*,所有嵌入都是連續的、 稠的.三元組(V,H,V*)稱為“發展三元組”.設I=[0,b]是一個閉區間.記X表示Lp(I,V),X*表示Lq(I,V*),其中p>1,1/p+1/q=1;‖·‖X表示X中的范數;(·,·)表示空間H的內積;〈·,·〉表示(V,V*)中的對偶對;《·,·》表示(X,X*)中的對偶對;Pk(R)表示實數集所有非空緊子集的全體.

考慮如下發展包含的反周期邊值問題：

(1)

其中:A:I×V→V*是一個非線性半連續算子;映射G:I×H→2V*{?}是一個集值映射.考慮方程(1)在G(t,x)為非凸值情況下解的存在性.假設：

不失一般性,對于所有的t∈I,設A(t,0)=0;H(F)：G:I×H→Pk(V*)是一個集值映射,滿足：

1) (t,x)→G(t,x)是圖像可測的；

2) 對幾乎所有的t∈I,都有x→G(t,x)是下半連續的；

定理1若假設(H1)～(H3)及H(F)成立,則問題(1)至少存在一個解x∈Wpq(I),且解集是一致有界的.

證明: 設N:Lp(I,H)→2Lq(I,V*)為集值映射G的Nemitsky算子,定義如下:

N(x)={v∈Lq(I,V*):v(t)∈G(t,x(t))} a.e.I.

為證明x→d(w,N(x))是上半連續的,只需證明對任意的λ≥0,水平集Uλ={x∈Lq(I,V*):d(w,N(x))≥λ}在Lq(I,V*)中是閉的.設{xn}n≥1?Uλ并假設在Lq(I,V*)中xn→x,則存在子列,不妨設其為xn→xa.e.于I.由1)知,x→d(w,F(t,x))為一個上半連續+函數.因此,由Fatou引理,有

于是x∈Uλ,進而可知N(·)是下半連續的.根據連續選擇定理知,存在連續函數f:Lp(I,H)→Lq(I,V*),使得f(x)∈N(x).

因此,原問題求解可轉化為該方程的不動點問題:x=L-1°f(x).由f的連續性,可知L-1°f:Lp(I,H)→Lp(I,H)是緊算子.下面證明集合

Γ={x∈Lp(I,H):x=σL-1°f(x),σ∈(0,1)}

是有界集.設x∈Γ,則有

由2)得

(2)

兩邊積分得

因此,Γ在Wpq中是有界集.又由于Wpq(I)→Lp(I,H)是連續嵌入的,故Γ在Lp(I,H)中是有界集.根據Leray-Shauder定理可知,存在一個x∈Wpq(I),使得x=L-1°f(x),即x為問題(1)的解.

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