一維光子晶體中的光場特性

王 婧,吳向堯,劉曉靜,巴 諾,張斯淇,李 宏,郭義慶,尹新國

(1.吉林師范大學 物理學院,吉林 四平136000;2.中國科學院 高能物理研究所,北京 100049;3.淮北師范大學 物理學院,安徽 淮北 235000)

Yablonovitch[1]和John[2]在討論周期性電介質結構對材料中光傳播行為的影響時,分別提出了光子晶體的概念.光子晶體是按照晶體的對稱性制備的周期性介電結構,其電磁模式像晶體中的電子一樣具有能帶結構.當光的頻率在禁帶中時,光的傳播被禁止[3].使其在光子晶體光纖、 光子晶體波導、 全向反射鏡、 光子晶體濾波器和光子晶體偏振器等方面應用廣泛[4-10].目前,光子晶體研究主要集中在討論垂直入射光在光子晶體的透射率及色散關系.本文在此基礎上,給出任意角度入射光在光子晶體中的透射率、 反射率及內部場強分布公式,并結合透射率和反射率研究光在一維光子晶體內的場強分布,討論入射光的角頻率和角度及光子晶體周期數和光學厚度對場強分布的影響.

1 任意角度入射光在一維光子晶體中的傳輸矩陣、 透射率及反射率

圖1 任意角度入射光在一維光子晶體介質中的傳播Fig.1 Transmissivity of incidence light at arbitrary incidence angle in photon crystals

由電場和磁場的邊值關系可知,界面Ⅰ兩側的電場強度和磁場強度在切向方向上的分量是連續的,即

(1)

界面Ⅱ兩側的電場強度和磁場強度可表示為

(2)

電場強度Et1和Ei2分別為

(3)

(4)

式(4)可變為

Ei2=Et1eiδa,

(5)

同理

(6)

(7)

其中:ε0為真空介電常數;μ0為真空介質磁導率.

式(7)可變為

(8)

其中

(9)

(10)

(11)

(12)

從而可得一個周期的傳輸矩陣為

(13)

對于第N個周期,其電場強度EN,EN+1和磁場強度HN,HN+1滿足如下關系式:

(14)

由式(14)可得任意入射角的光在N個周期光子晶體中的特征方程,即傳輸矩陣:

(15)

其中M=M1M2…MN=MaMbMaMb…MaMb.

根據第一個界面和第N+1個界面上的電磁分量方程,可求出任意角度入射光在一維光子晶體中傳播的透射率和反射率,分別為:

透射系數

(16)

透射率

T=t·t*;

(17)

反射系數

(18)

反射率

R=r·r*.

(19)

2 任意角度入射光在一維光子晶體中的場強分布

任意角度入射光在一維光子晶體中的場強分布如圖2所示.由任意角度入射光在一維光子晶體中的傳播矩陣可得

(20)

其中: ΔzN為第N個周期內的傳播距離;E0和H0分別為入射電場和磁場強度;EN(d1+d2+…+dN-1+ΔzN)和HN(d1+d2+…+dN-1+ΔzN)分別為光在第N個周期內的電場強度和磁場強度.通過變換可得:

(21)

E0=Ei1+Er1=(1+r)Ei1,

(22)

(23)

由式(21)～(23)即可得任意角度入射光在一維光子晶體中的電場分布為

(24)

圖2 任意角度入射光在一維光子晶體中的場強分布Fig.2 Electron field distribution of incident light in 1D photon crystals

3 數值分析

本文研究的光子晶體分別由Si和Al2O3作為介質層A和B,折射率分別為na=3.42,nb=1.766,周期數N=8,即結構為(AB)8,λ0=679 nm,對應角頻率ω0=2πc/λ0,其中c為真空中光速,光學厚度naa=nbb=λ0/4,其中a和b分別為介質層A和B的厚度.

由式(16)～(19)可得垂直入射光在(AB)8結構的一維光子晶體中反射率及透射率隨角頻率變化的曲線,如圖3所示,其中: 橫軸為入射光角頻率與基頻ω0的比值;縱軸為不同角頻率的光在一維光子晶體中傳播時對應的反射率及透射率.由圖3(A)可見: 當橫軸ω/ω0為奇數時,其對應的反射率近似為1(ω=ω0,R=0.999 897 795 201 119 9;ω=3ω0,R=0.999 897 795 201 119 9);當橫軸ω/ω0為偶數時,其對應的反射率近似為0(ω=2ω0,R=4.493 215 313 876 917×10-30;ω=4ω0,R=1.797 286 125 550 766 8×10-29).由圖3(B)可見,當橫軸ω/ω0分別為奇數和偶數時,其對應的透射率分別近似為0和1.

圖3 垂直入射光在一維光子晶體中隨頻率變化的反射率(A)和透射率(B)曲線Fig.3 Reflectivity curve (A) and transmissivity curve (B) of vertically incident light changed with angle frequency in photon crystals

角頻率分別為ω0,3ω0,2ω0,4ω0的垂直入射光在一維光子晶體中的場強分布曲線如圖4所示,其中橫軸為光在一維光子晶體中的傳播位置,縱軸為其所在位置對應場強與入射場強比值的模方.由圖4可見: 當入射光角頻率為基頻奇數倍時,其場強較弱,與入射場強比值的最大值小于0.35,場強隨入射光位置的增大逐漸減弱,最終趨為0;當入射光角頻率為基頻偶數倍時,其場強較強,與入射場強比值的最大值近似為1,場強隨入射光位置的增大呈周期性分布;透射率越大,相應的場強越大;每個周期內波峰數隨入射光角頻率的增大而增加,且波峰數與其入射光對應的基頻倍數相同,但場強分布的總趨勢保持不變.

圖4 角頻率分別為ω0(A),3ω0(B),2ω0(C),4ω0(D)的垂直入射光在(AB)8結構一維光子晶體中的場強分布曲線Fig.4 Electron field distribution curves of incidence light in photon crystals of (AB)8 structure with ω0 (A),3ω0 (B),2ω0 (C),4ω0 (D)

角頻率分別為2.5ω0,3.5ω0,4.5ω0,5.5ω0的垂直入射光在一維光子晶體中的場強分布曲線如圖5所示.由圖5可見,每個周期(僅標示了(D)中一個周期分界線)內波峰數隨入射光角頻率的增大而增加,且每個周期內完整波峰數與基頻倍數中的整數相同.即每個周期內完整波峰數分別為2,3,4,5.

圖5 角頻率分別為2.5ω0(A),3.5ω0(B),4.5ω0(C),5.5ω0(D)的入射光 在(AB)8結構一維光子晶體中的場強分布曲線Fig.5 Electron field distribution curves of incidence light in photon crystals of (AB)8 structure with 2.5ω0 (A),3.5ω0 (B),4.5ω0 (C),5.5ω0 (D)

周期數對場強分布的影響分別如圖6和圖7所示.由圖6可見,當入射光角頻率均為2ω0或3ω0,周期數N分別為8和12時,在相同周期處的場強分布完全相同,增大光子晶體周期數不影響場強分布.即角頻率為整數倍基頻的入射光,保持其他參數不變,改變其傳播的光子晶體周期數不影響光的場強分布.這是由于當入射光角頻率為整數倍基頻時,其相應反射率近似為0或1,改變光子晶體周期數,其反射率變化極小,對場強分布影響較弱所致.

圖6 角頻率均為2ω0(A),(B)或3ω0(C),(D) 的入射光在(AB)8 和(AB)12 結構一維光子晶體中的場強分布曲線Fig.6 Electron field distribution curves of incidence light with angle frequency 2ω0 (A),(B) or 3ω0 (C),(D) of (AB)8 and (AB)12 structure photon crystals

圖7 角頻率均為1.42ω0(A),(B)或2.5ω0(C),(D) 的入射光在(AB)8 和(AB)12 結構一維光子晶體中的場強分布曲線Fig.7 Electron field distribution curves of incidence light with 1.42ω0 (A),(B) or 2.5ω0 (C),(D) of (AB)8 and (AB)12 structure photon crystals

由圖7可見,當入射光角頻率均為1.42ω0或2.5ω0,周期數N分別為8和12時,其場強分布隨周期數的增大而降低,即角頻率為非整數倍基頻的入射光,增大其傳播的光子晶體周期數,其相應的場強分布減弱.

角頻率為2ω0的垂直入射光在光學厚度nad分別為λ0/4,λ0/2和λ0光子晶體中的場強分布曲線如圖8所示.由圖8可見: 每個周期內波峰數隨光子晶體光學厚度的等比增大而等比增加,其公比與光學厚度增加的公比相等;改變光子晶體光學厚度并不改變其場強呈周期性分布的性質.

圖8 角頻率為2ω0的垂直入射光在光學厚度分別為λ0/4(A),λ0/2(B) 和λ0(C)的(AB)8結構一維光子晶體中的場強分布曲線Fig.8 Electron field distribution curves of incidence light in photon crystals of (AB)8 structure with optical thickness λ0/4 (A),λ0/2 (B) and λ0 (C),angle frequency 2ω0

綜上,本文可得如下結論:

1) 當入射光角頻率為基頻奇數倍時,其透射率近似為零,場強較弱,與入射光場強比值的最大值小于0.35,場強隨入射光位置的增大逐漸減弱,最終趨近為0,每個周期內波峰數隨入射光角頻率的增大而增加,與其入射光頻率對應的基頻倍數相同;

2) 當入射光角頻率為基頻偶數倍時,其透射率近似為1,場強較強,與入射光場強比值的最大值為1,且場強分布呈周期性分布,每個周期內波峰數隨入射光角頻率的增大而增加,與其入射光頻率對應的基頻倍數相同;

3) 當入射光角頻率為非整數倍基頻時,每個周期內波峰數隨角頻率的增大而增加,且每個周期內完整波峰數與基頻倍數中的整數相同;

4) 當入射光角頻率為整數倍基頻時,其反射率近似為0或1,改變光子晶體周期數,其反射率變化極小,因此對場強分布的影響較弱;

5) 當入射光角頻率為非整數倍基頻時,增大傳播的光子晶體周期數,其相應的場強分布減弱;

6) 每個周期內波峰數隨光子晶體光學厚度的等比增大而等比增加,其公比與光學厚度增加的公比相等;

7) 光在光子晶體內部場強隨入射角度的減小而增強.

圖9 角頻率為2ω0,入射角分別為60°(A),30°(B)和0°(C) 的光在(AB)8結構一維光子晶體中的場強分布曲線Fig.9 Electron field distribution curves of incidence light in photon crystals of (AB)8 structure with incidence angle 60° (A),30° (B) and 0° (C),angle frequency 2ω0

[1] Yablonovitch E.Inhibited Spontaneous Emission in Solid-State Physics and Electronics [J].Phys Rev Lett,1987,58(20): 2059-2062.

[2] John S.Strong Localization of Photons in Certain Disordered Dielectric Superlattices [J].Phys Rev Lett,1987,58(23): 2486-2489.

[3] WAN Jun,ZHANG Chun,WANG Ling-jun.Photonic Crystals and Their Applications [J].Physics,1999,28(7): 393-398.(萬鈞,張春,王領軍.光子晶體及其應用 [J].物理,1999,28(7): 393-398.)

[4] FAN Shan-hui,Villeneuve P R,Joanhopoulos J D,et al.High Extraction Efficiency of Spontaneous Emission from Slabs of Photonic Crystals [J].Phys Rev Lett,1997,78(17): 3294-3297.

[5] GUO Shu-qin,LIU Yin-ping,ZHU Guang-xin.Photonic Crystal Fiber with Snowflake Shape Crystal Core [J].Acta Photonica Sinica,2007,36(7): 1207-1210.(郭淑琴,劉印平,朱廣信.雪花形晶芯光子晶體光纖 [J].光子學報,2007,36(7): 1207-1210.)

[6] Kenji Ishizaki,Susumu Noda.Manipulation of Photons at the Surface of Three-Dimensional Photonic Crystals [J].Nature,2009,460: 367-370.

[7] FANG Liang,ZHAO Jian-lin,GAN Xue-tao,et al.Generation and Control of Supercontinuum in Photonic Crystal Fibers with Two-Zero Dispersion Wavelengths [J].Acta Photonica Sinica,2010,39(11): 1921-1927.(方亮,趙健林,甘雪濤,等.雙零色散光子晶體光纖中超連續譜的產生及控制 [J].光子學報,2010,39(11): 1921-1927.)

[8] WANG Hui,LI Yong-ping.An Eigen Matrix Method for Obtaining the Band Structure of Photonic Crystals [J].Acta Physica Sinica,2001,50(11): 2172-2178.(王輝,李永平.用特征矩陣法計算光子晶體的帶隙結構 [J].物理學報,2001,50(11): 2172-2178.)

[9] John S.Photonics: Light Control at Will [J].Nature,2009,460: 337.

[10] Russell P.Photonic-Crystal Fibers [J].Science,2003,299: 358-362.