Banach空間中發展包含的反周期問題

程 毅,華宏圖,從福仲

(1.渤海大學 數學系,遼寧 錦州 121003;2.吉林大學 數學研究所,長春 130012;3.空軍航空大學 基礎部,長春 130022)

發展包含的反周期問題在控制領域應用廣泛,目前已有很多研究結果[1-9].

設H是可分的Hilbert空間,V是H的稠子集,具有自反可分的Banach空間結構,且連續地緊嵌入H.對于H及其對偶,有V→H→V*,所有嵌入都是連續的、 稠的.三元組(V,H,V*)稱為發展三元組.設I?是一個閉區間,記X表示Lp(I,V),X*表示Lq(I,V*),其中記‖·‖X表示X中的范數.用(·,·)表示空間H的內積,〈·,·〉表示(V,V*)中的對偶對,《·,·》表示(X,X*)中的對偶對.Pk(f)c()表示實數集的所有非空緊(閉)凸子集的全體.

設T=[0,b],考慮如下發展包含的反周期邊值問題：

(1)

其中:A:T×V→V*是一個非線性半連續算子;B:V→V*是一個有界線性自伴算子且D(B)緊嵌入H;映射G:T×H→ 2V*{?}是一個集值映射.

本文考慮方程(1)在G(t,s)為凸的情況下解的存在性.假設:

(H2) 對于每個t∈T,A(t):V→V*一致單調且半連續,即存在常數C1≥0,使得對于所有的x1,x2∈V,有

1) (t,x) →G(t,x)是圖像可測的；

2) 對幾乎所有t∈T,都有x→G(t,x)是閉圖象；

定理1若條件(H1)～(H4)和H(F)成立,則問題(1)至少存在一個解x∈Wpq(T),且解集是一致有界的.

設S={v|v∈X*: ‖v‖X*≤M0},對任意的f(t)∈S,有Lx=f(t).由解的先驗估計知,存在常數M>0,使得‖x‖X=‖L-1f‖X≤M.從而L-1(S)在Lp(T,H)是相對緊集.

N(x)={v∈V*:v(t)∈G(t,x),a.e.T}.

因此v(t)∈N(u),故N(u)≠?.

下面給出問題(1)解的先驗估計.設x是問題(1)的解,則Lx=f(t)∈G(t,x).由〈Lx,x〉=〈f(t),x〉,有

〈x′,x〉+〈A(t,x),x〉+〈Bx,x〉=〈f(t),x〉.

根據假設條件(H2),(H3),有

〈x′,x〉+〈Bx,x〉≤〈f(t),x〉,

從而可得《x′,x》+《Bx,x》≤《f(t),x》.

由于《x′,x》=0,因此根據假設(H4)得

又由假設3)得

于是u∈S,因此解集S在Wpq(T)內是弱緊的.

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