相依計數變量風險模型的大偏差

宇世航,王德輝,魏蘊波

(1.齊齊哈爾大學 理學院,黑龍江 齊齊哈爾 161006;2.吉林大學 數學學院,長春 130012)

0 引言與預備知識

考慮基于下述條件的一類風險模型：

Nk=α°Nk-1+εk,k=1,2,…,

(1)

盈余動態過程模型為

(2)

其中:u表示保險公司初始資金;c表示單位收益率;Sk表示從第0到第k期累積索賠總額,即

Sk=W1+W2+…+Wk,

(3)

規定S0=0.

1 主要結果

證明: 注意FY∈C,對任意的θ>0和充分大的y,

因此,有

(4)

由引理1和式(4),存在某個δ>0,有

證明：對任意的ε>0,當n→∞時,有

證明: 對任意實值r,Sk的特征函數為

另一方面,有

證明: 令{Y,Yj,j≥1}是與X同分布的i.i.d.序列,且與式(1)中定義的{Nk}獨立.對任意的η>0,考慮

由引理1,對充分大的x,有

(6)

對x>γk一致成立.

(7)

另一方面,

(9)

令η↓0,由式(7),(9)和定理1可證結論.

證明: 事實上,由定理1,只需證存在某個δ>0,使得

(10)

在x>γk1+δ上一致成立即可.類似定理2的證明,只需將引理2應用到式(5),(8)中即可證得式(10).

[1] Gerber H U.An Introduction to Mathmatical Risk Theory [M].Philadelphia: S S Huebner Foundation for Insurance Education,1979.

[2] Dickson D C M.Insurance Risk and Ruin [M].Cambridge: Cambridge University Press,2005.

[3] Hélène C,Etienne M,Véronique M D.Discrete-Time Risk Models Based on Time Series for Count Random Variables [J].Astin Bulletin,2010,1: 123-150.

[4] Hélène C,Etienne M,Florent T.Risk Models Based on Time Series for Count Random Variables [J].Insurance: Mathematics and Economics,2011,48(1): 19-28.

[5] Ng K W,TANG Qi-he,YAN Jia-an,et al.Precise Large Devitions for Sums of Random Variables with Consistently Varying Tails [J].J Appl Probab,2004,41: 93-107.

[6] SU Chun,TANG Qi-he.Characterizations on Heavy-Tailed Distributions by Means of Hazard Rate [J].Acta Math Appl Sinica: English Series,2003,19(1): 135-142.

[7] McKenzie E.Discrete Variate Time Series [J].Stochastic Processes: Modelling and Simulation,2003,21: 573-606.

[8] Al-Osh M A,Alzaid A A.First-Order Integer-Valued Artoregressive INAR(1) Process [J].Journal of Time Series Analysis,1987,8(3): 261-275.