具有隨機擾動的SIQS傳染病系統的漸近行為

趙亞男,夏 蘭,張曉穎

(1.長春大學 理學院,長春 130022;2.吉林交通職業技術學院 基礎部,長春 130012)

0 引 言

目前,對傳染病最直接的控制措施是對易感人群進行預防接種,以減少疾病的發生率.當種群中存在傳染病時,設總種群(N)分為易感類(S)和染病類(I).若染病者恢復后不具有免疫力,即染病者恢復后又成為易感者,此時相應的傳染病模型稱為SIS模型,一般適用于由細菌引起的傳染病.引入隔離后,總種群(N)分為由易感個體組成的子種群(S)、 由已經染病但未隔離的個體組成的子種群(I)和由已經染病并被隔離的個體組成的子種群(Q).設被隔離者恢復后也不具有免疫力,此時相應的傳染病模型稱為SIQS模型.文獻[1]中提出了具有隔離項的傳染病模型:

(1)

這里:A,μ,β是正常數;γ,δ,ε和α是非負常數;A是單位時間內因出生和移民而進入易感染者S類的數量,簡稱輸入率；μ是死亡率系數；β是雙線性疾病發生率系數；δ是隔離率系數；α是因病死亡率系數；γ和ε分別是從染病者類I和隔離者類Q到易感類的恢復系數.方程(1)的正不變集為

D={(S,I,Q):S≥0,I≥0,Q≥0,S+I+Q≤A/μ},

(2)

引理1[1]對方程(1),若R0≤1,則無病平衡點P0在D內全局漸近穩定;若R0>1,則無病平衡點P0不穩定,地方病平衡點P*在D-{(S,I,Q)|I=0}內全局漸近穩定.

May[2]研究表明,環境白噪聲會不同程度地影響增長率、 環境容納量、 競爭系數及系統的其他參數,從而在一定程度上或多或少地呈現隨機現象.文獻[3-4]通過Lyapunov泛函方法給出了模型中平衡點的穩定性;文獻[5]通過對模型中的平衡點做擾動,研究了在平衡點擾動下的動力學行為.通過證明相應線性系統平凡解的穩定性可反映系統平衡點的隨機局部穩定性,文獻[6-8]研究了環境白噪聲對Lotka-Vloterra模型及延展形式的影響.

(3)

本文研究接觸率系數β在環境白噪聲干擾下的隨機傳染病系統SIQS正解的存在唯一性及漸近行為.

1 正解的存在性和唯一性

τm=inf{t∈[0,τe): min{S(t),I(t),Q(t)}≤1/m或 max{S(t),I(t),Q(t)≥m},

d(S+I+Q)=A-μ(S+I+Q)-α(I+Q)≤A-μ(S+I+Q).

(4)

于是

(5)

V(S,I,Q)=(S-1-logS)+(I-1-logI)+(Q-1-logQ).

用與文獻[9]類似的方法可證結果成立.

Γ*={(S,I,Q):S>0,I>0,Q>0,S+I+Q≤A/μ}

是系統(3)的正不變集.

2 隨機系統無病平衡點的漸近穩定性

下面假設Y(0)∈Γ*.

定理2如果R0≤1,設Y(t)=(S(t),I(t),Q(t))是系統(3)初值Y(0)∈Γ*的解,則系統(3)的無病平衡點P0隨機大范圍漸近穩定.

證明: 設x=S-A/μ,y=I,z=Q,則系統(3)可以寫為

(7)

(8)

顯然函數V是正定的,設L是相應于系統(7)的生成算子,則由It公式,得

易見LV是負定的,故當R0≤1時,系統(3)的平凡解P0是大范圍隨機漸近穩定的.證畢.

3 隨機系統在P*附近的漸近行為

定理3如果R0>1,設Y(t)=(S(t),I(t),Q(t))是系統(3)初值Y(0)∈Γ*的解,則

證明: 因為P*是系統(3)的地方病平衡點,則

A=βS*I*+μS*-γI*-εQ*,βS*I*+(μ+δ+γ+α)I*,δI*=(μ+ε+α)Q*.

(9)

對式(10)兩邊同時在0到t上取積分,得

(11)

證畢.

注2在一定條件下,系統(1)的解Y(t)=(S(t),I(t),Q(t))與系統地方病平衡點P*之間的距離用

表示,其中C是一個正常數.雖然系統(3)沒有如確定性系統的穩定性,但當‖σ‖2充分小時,可認為存在近似的穩定性,此時認為疾病會流行.

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