變系數Wave-Like方程的格子Boltzmann模型

史秀波,閆廣武

(1.桂林理工大學 理學院,廣西 桂林 541004； 2.吉林大學 數學學院,長春 130012)

格子Boltzmann方法(LBM)作為一種新的數值方法在計算流體力學、 非線性偏微分方程等領域應用廣泛[1-6].閆廣武等[7-10]將這種方法應用于波傳播問題,為研究其他波動問題提供了可選擇的途徑.在科學工程領域,許多物理問題都可以借助變系數初邊值問題描述,這些線性和非線性模型及其解析解或數值解對應用科學具有重要意義[11].本文用格子Boltzmann方法對如下變系數wave-like方程進行模擬研究:

(1)

其中f(x),g(x)和h(x)是關于x,y,z的函數.

方程(1)可以表示成如下形式：

(2)

這里:

Cs(x)=f(x)+g(x)+h(x);

u(x,t)的下一個時間步表達式[7]為

(3)

本文用格子Boltzmann方法為方程(2)建立了格子Boltzmann模型.通過使用Chapman-Enskog展開和多尺度技術,獲得了系列格子Boltzmann偏微分方程[12]、 平衡態分布函數的高階矩以及宏觀變系數wave-like方程.數值實驗表明,模擬結果與解析解吻合較好.

1 格子Boltzmann模型

選擇二維5-bit網格和三維7-bit網格,分布函數fα(x,t)定義為在某節點x上、t時刻、 具有速度eα(α=0,1,…,b)的粒子出現的概率,其中α=0表示靜止粒子.在二維空間中,b=4,粒子速度為

eα={(0,0),(c,0),(0,c),(-c,0),(0,-c)}；

三維空間中,b=6,粒子速度為

eα={(0,0,0),(c,0,0),(0,c,0),(0,0,c),(-c,0,0),(0,-c,0),(0,0,-c)},

其中c表示速率.定義宏觀量:

(4)

(5)

格子Boltzmann方程表示為

fα(x+eα,t+1)-fα(x,t)=Ωα+ωα,

(6)

選取Knudsen數ε作為數值模擬的時間步長和Chapman-Enskog展開的小參數[13],在該尺度上,方程(6)可寫為

fα(x+εeα,t+ε)-fα(x,t)=Ωα+ωα,

(7)

其中

ωα(x,t)=ε2θα(x,t).

(8)

通過Chapman-Enskog展開和時間多尺度可獲得不同時間尺度上的系列格子Boltzmann偏微分方程：

(9)

(10)

為了獲得平衡態分布函數,選取高階矩為

(14)

當選取

(15)

且假設附加分布函數θα和α無關,并取

(16)

后,即得宏觀變系數wave-like方程(2).

結合式(5),(12),(13),可得平衡態分布函數的表達式為

其中D表示空間維數.

進行數值計算時,迭代過程分為如下兩步：

1) 碰撞：

(19)

2) 流：

(20)

(21)

為了對模型進行誤差分析,將式(9)+式(10)×ε+式(11)×ε2,并對兩端關于α求和有

(22)

由于附加分布函數θα不是一個正常尺度上的量,因此導致誤差出現反彈現象,使模型的精度最后降為一階.

2 數值模擬

為了驗證模型的效果,本文分別對二維和三維變系數wave-like問題進行數值模擬.對二維問題使用5-bit模型,三維問題使用7-bit模型.

2.1 二維初邊值問題

二維初邊值問題(initial boundary value problems,IBVP):

Neumann邊界條件為

初始條件為

u(x,y,0)=x4,ut(x,y,0)=y4;

(24)c

精確解[14]為

u(x,y,t)=x4cosht+y4sinht.

(24)d

圖1 t=0.6時初邊值問題(24)的LBM解(A)和精確解(B)Fig.1 LBM solution (A) and exact solution (B) for IBVP(24) at t=0.6

2.2 三維非齊次IBVP

三維非齊次IBVP:

Dirichlet邊界條件為

初始條件為

u(x,y,z,0)=0,ut(x,y,z,0)=x2+y2-z2;

(25)c

精確解[14]為

u(x,y,z,t)=(x2+y2)et+z2e-t-(x2+y2+z2).

(25)d

圖2 t=0.6時初邊值問題(24)在x=0.2處的相對誤差曲線(A)及 絕對誤差無窮模和Knudsen數ε的對數關系曲線(B)Fig.2 Curves of the relative error (A) and logarithmic relationship curves for IBVP(24) of the infinite norm of the absolute error Ea versus the Knudsen number ε at t=0.6,on x=0.2

參數設置為：格子尺寸50×50×50,c=5.0,τ=1.01,t=2.0.圖3(A)和(B)分別為三維非齊次IBVP(25)格子Boltzmann模型的數值解u和精確解u*.圖4(A)和(B)分別為三維非齊次IBVP(25)兩種結果在t=2時的相對誤差Er=|(u-u*)/u*|曲線及相對誤差的無窮模和Knudsen數ε的對數關系曲線.

圖3 t=2時初邊值問題(25)的LBM解(A)和精確解(B)Fig.3 LBM solution (A) and exact solution (B) for IBVP(25) at t=2

圖4 t=2時初邊值問題(25)在x=0.6,z=0.6處的相對誤差曲線(A)及 相對誤差無窮模和Knudsen數ε的對數關系曲線(B)Fig.4 Curves of the relative error (A) and logarithmic relationship curves (B) for IBVP(25) of the infinite norm of the relative error Er versus the Knudsen number ε at t=2,on x=0.6,z=0.6

由圖3和圖4可見,LBM解與精確解基本一致.由圖4(A)可見,誤差在(0,0.022 5)范圍內,表明數值解與精確解吻合較好.由圖4(B)可見,本文模型的誤差對網格數有依賴關系,網格越密,模型的誤差越小,表明LBM模型是收斂的.數值實驗表明,LBM是用于模擬wave-like方程的一種有效方法.

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