p-Kirchhoff型方程解的多重性

李 健,杜泊船,趙 昕,呂顯瑞

(1.吉林農業大學 信息技術學院,長春 130118;2.吉林大學 生命科學學院,長春 130012;3.吉林大學 數學學院,長春 130012)

0 引言與主要結果

考慮如下p-Kirchhoff型方程:

(1)

Kirchhoff模型[1]為

該模型可用于描述生物的種群密度等平均量,其對應的穩態Kirchhoff型方程為

(2)

關于方程(2)的研究目前已有許多結果[2-4].文獻[5-8]應用變分法研究了問題(1)的非平凡解.顯然,方程(1)是方程(2)的推廣.事實上,當M(t)=a+bt,p=2時,方程(1)即為方程(2)的情形.此外,當M(t)=1時,方程(1)可轉化為

(3)

0<μF(x,s)≤f(x,s)s, ?s>0, ?x∈Ω

滿足時,得到了方程(1)正解的存在性.本文在該條件不滿足時研究方程(1)解的多重性,得到如下結果.

(H0) 存在常數0

(H1) 存在正常數C1,C2和q∈(p,p*),使得

(H4) 存在C*>0,使得P(x,t)≤P(x,s)+C0,?0

注1文獻[6]在超線性冪次次臨界增長且對稱情形下得到了方程(1)的無窮多解； 文獻[8]在非線性項滿足漸近線性增長情形下得到了方程(1)的兩個非平凡解;文獻[7]研究了方程(1)在臨界增長情形下解的存在性.注意文獻[5]中(AR)條件結合次臨界增長條件導致非線性項滿足超線性次臨界增長,而在定理1的條件下,該條件不滿足但非線性項仍滿足超線性次臨界增長條件.

1 定理1的證明

這里

范數定義為

定義1如果

顯然若u為J的臨界點,則u是方程(1)的弱解.本文將利用山路引理得到問題(1)非平凡解的存在性.

定義

相應的泛函定義為

類似地,定義

相應的泛函定義為

下面只考慮得到正解的存在性,類似地,可以得到負解的存在性.由推廣形式的山路定理[11],只需證明泛函J+具有山路幾何并且滿足(C)c條件.

先證明泛函J+具有山路幾何,即:

引理1在定理1的假設下,有:

證明: 1) 由(H1),(H2),對任意的>0,存在C>0,使得

?x∈Ω, ?s>0.

因此,結合(H0),應用Sobolev嵌入與Poincare不等式,可得到常數σ1,C1>0,使得

由q>p易知,存在r,δ>0,使得結論1)成立.

2) 由(H3),對任意的M>0,存在CM>0,使得

F+(x,s)≥Msp-CM, ?x∈Ω, ?s>0.

(4)

在定理1的假設下,(PS)條件不滿足.下面證明泛函J滿足(C)c條件.

引理2在定理1的假設下,泛函J+滿足(C)c條件.

證明: 假設{un}n∈?為(C)c序列,即

J+(un)→c∈, (1+‖un‖)‖(J+)′(un)‖→0,n→+∞.

(5)

并且有|wn(x)|≤h(x),a.e.x∈Ω,其中h∈Lp(Ω).

下證在Ω中w0(x)=0 a.e.事實上,記Ω0∶={x∈Ω:w0(x)≠0}.若Ω0≠?,則有|un(x)|→+∞,?x∈Ω0.由假設(H3)和式(5)知,

(6)

關于x∈Ω一致成立.由(H6)、 式(5)及Fatou引理,有

這與式(6)矛盾,從而|Ω0|=0.因此w0(x)=0 a.e.x∈Ω.

(8)

由

并結合式(8)可得

由(H4)可得

另一方面,由假設(H1),(H2),對任意的R0>0,有

當n充分大時,矛盾.

由(H1),(H2)與Sobolev嵌入定理可得

(10)

記

由|((J+)′(un),un-u0)|→0,結合式(10)可得Qn→0.

另一方面,注意到

結合弱收斂un?u0及不等式

應用(H6)可知存在常數C2>0,使得

[1] Kirchhoff G.Mechanik [M].Leipzig: Teubner,1883.

[2] CHENG Bi-tao,WU Xian,LIU Jun.Multiple Solutions for a Class of Kirchhoff Type Problems with Concave Nonlinearity [J].Nonlinear Differ Equ Appl,2012,19(5): 521-537.

[3] MAO An-min,ZHANG Zhi-tao.Sign-Changing and Multiple Solutions of Kirchhoff Type Problems without the P.S.Condition [J].Nonlinear Anal: Theory,Methods &Applications,2009,70(3): 1275-1287.

[4] Perera K,ZHANG Zhi-tao.Nontrivial Solutions of Kirchhoff-Type Problems via the Yang Index [J].J Differential Equations,2006,221(1): 246-255.

[5] Corrêa F J S A,Figueiredo G M.On an Elliptic Equation ofp-Kirchhoff Type via Variational Methods [J].Bull Austral Math Soc,2006,74(2): 263-277.

[6] Corrêa F J S A,Figueiredo G M.On ap-Kirchhoff Equation via Krasnoselskii’s Genus [J].Appl Math Lett,2009,22(6): 819-822.

[7] Hamydy A,Massar M,Tsouli N.Existence of Solutions forp-Kirchhoff Type Problems with Critical Exponent [J].Electron J Differential Equations,2011,105: 1-8.

[8] LIU Du-chao,ZHAO Pei-hao.Multiple Nontrivial Solutions to ap-Kirchhoff Equation [J].Nonlinear Anal: Theory,Methods &Applications,2012,75(13): 5032-5038.

[9] Gasiński L,Papageorgiou N S.Multiple Solutions for Asymptotically (p-1)-Homogeneousp-Laplacian Equations [J].J Funct Anal,2012,262(5): 2403-2435.

[10] OU Zeng-qi,LI Chun.Existence of Solutions for Dirichlet Problems withp-Laplacian [J].Nonlinear Anal: Theory,Methods &Applications,2012,75(13): 4914-4919.

[11] Schechter M.A Variation of the Mountain Pass Lemma and Applications [J].J London Math Soc,1991,44(3): 491-502.