(2+1)維MKdV方程的Darboux變換及其孤子解

黃 坤,呂 悅

(1.華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,鄭州 450011;2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012)

1 (2+1)維MKdV方程

求解孤子方程的孤子解是非線性領(lǐng)域中的主要問(wèn)題,目前已有許多求解孤子方程孤子解的方法,例如反散射方法、 雙線性(Hirota)方法、 B?cklund變換法、 Darboux變換法和代數(shù)幾何法等.這些方法各有特點(diǎn),也有內(nèi)在聯(lián)系.其中,Darboux變換是一種行之有效的方法,它從平凡解出發(fā)得到孤子方程的孤子解.

考慮(2+1)維MKdV方程的譜問(wèn)題[1-3]:

(1)

其中:u=u(x,y,t)和v=v(x,y,t)是兩個(gè)勢(shì);λ是一個(gè)譜參數(shù).

解零曲率方程:

(2)

等價(jià)于解方程:

(3)

定義Lenard序列g(shù)j=(aj+2,2cj+2)T,由式(3)計(jì)算可得

假設(shè)方程(2)的輔譜問(wèn)題為

(4)

(utn,vtn)T=Jgn,n≥1,

(5)

這里K,J是Lenard算子對(duì),并滿足Kgj-1=Jgj.當(dāng)t0=y,t1=t時(shí),由式(5)可解得兩個(gè)(1+1)維MkdV方程:

設(shè)(u(x,y,t),v(x,y,t))是方程(6)和(7)的解,令w(x,y,t)=v2(x,y,t),則由方程(6)知

w?-1uy=-(vvxx+u2v2+2v4),wx?-1uy=-(2(vvxx)x-2vvxxx+2u2vvx+4v3vx),

代入方程(7)得(u(x,y,t),w(x,y,t)),即為如下(2+1)維MkdV方程的解:

(8)

方程(1)對(duì)應(yīng)的輔譜問(wèn)題為

φy=V1φ,φt=V2φ,

(9)

其中:

(2+1)維MKdV方程最初用于描述淺水中長(zhǎng)波的擴(kuò)散.近年來(lái),越來(lái)越多的物理現(xiàn)象都可用其描述,如一維非線性Lattice波、 非線性電介質(zhì)中電磁波與橫向光學(xué)聲子的相互作用、 在兩個(gè)水平面上的瑞本對(duì)流、 非線性簡(jiǎn)諧振動(dòng)及等離子體運(yùn)動(dòng)學(xué)中離子聲波等.

2 Daboux變換

(10)

其中α,ak,bk,ck和dk(0≤k≤n-1)是關(guān)于x和t的函數(shù).

由引理1的方法同理可證下列引理.

這里

其中β,ak,bk,ck和dk(0≤k≤n-1)是關(guān)于x和t的函數(shù).

這里

其中γ,ak,bk,ck和dk(0≤k≤n-1)是關(guān)于x和t的函數(shù).

當(dāng)n=1時(shí),3種Darboux變換有下列形式:

(14)

選取方程(1)中λ=λi(i=1,2)的兩個(gè)基本解φ1=φ1(x,λ1),φ2=φ2(x,λ1),ψ1=ψ1(x,λ2),ψ2=ψ2(x,λ2),則有

γ(λ1+a)φ1+γbφ2=0,γ(λ2+a)ψ1+γbψ2=0,

γ-1cφ1+γ-1(λ1+d)φ2=0,γ-1cψ1+γ-1(λ2+d)ψ2=0,

計(jì)算得

(15)

其中Δ=φ1ψ2-φ2ψ1.

證明: 由關(guān)系

可得

同理可證方程(11),(12)其余各式成立.

3 3種Darboux變換間的關(guān)系

(2+1)維MKdV方程有3種Darboux變換,下面考慮n=1時(shí),3種Darboux變換間的關(guān)系.

(16)

(17)

(18)

(19)

由上述關(guān)系,易得:

定理2若變量α,β,ai,bi,ci,di(i=1,2)滿足式(16)～(19)的條件,則T2(λ2)·T1(λ1)=T,其中:

γ=αβa2,αβγd1=1,c1+c2=0;

(20)

a=(a1a2+b2c1)/a2,b=(b1a2+b2d1)/a2,c=(a1c2+d2c1)/d1,d=(b1c2+d2d1)/d1.

(21)

證明: 由式(16)～(19)計(jì)算可得

同理可證式(21)其余各式成立.

定理3當(dāng)n=1時(shí),若變量α,β,ai,bi,ci,di(i=1,2)滿足下列條件:

(22)

(23)

(24)

(25)

則可得3種Darboux變換間的關(guān)系：

T1(λ1)·T2(λ2)=T,

其中:

γ=αβa2;αβγd1=1;b1+b2=0;

(26)

a=(a1a2+b1c2)/a2;b=(a1b2+b1d2)/a2;c=(c1a2+d1c2)/d1;d=(b2c1+d1d2)/d1.

(27)

綜合定理2和定理3可得T1(λ1)·T2(λ2)=T2(λ2)·T1(λ1).3種Darboux變換間的關(guān)系如下：

4 (2+1)維MKdV方程的孤子解

以平凡解u=0,v=-1作為種子解,代入Lax對(duì)問(wèn)題(1)和(9)中,可得兩個(gè)基本解為

參考文獻(xiàn)[7-8],將上述兩個(gè)基本解代入式(14)可得下列定理.

定理4當(dāng)n=1,u=0,v=-1時(shí),(2+1)維MKdV方程的孤子解為

(28)

其中:

(29)

當(dāng)λ1>2,λ<-2時(shí),兩個(gè)孤子解u,v相互正碰,其平面圖均沿x軸正向傳播,如圖1所示;當(dāng)λ2>λ1>2 時(shí),兩個(gè)孤子解u,v相互追趕碰撞,其平面圖均沿x軸負(fù)向傳播； 當(dāng)|λ1|<2,|λ2|<2時(shí),兩個(gè)孤子解u,v是周期解,如圖2所示.

圖1 (2+1)維MKdV方程相互正碰的孤子解Fig.1 Two-head-on collision soliton solution of (2+1) dimensional MKdV equation

圖2 (2+1)維MKdV方程的周期解Fig.2 Periodic solution of (2+1) dimensional MKdV equation

定理5當(dāng)n=2,u=0,v=-1時(shí),(2+1)維MKdV方程的孤子解為

u=-(lnd1)x,w=v2=(1+b1)(1+c1).

(30)

在λi>2或λi<-2(i=1,2,3)的范圍內(nèi),當(dāng)λi(i=1,2,3)同為負(fù)數(shù)時(shí),孤子解u,w為3個(gè)孤子相互追趕碰撞,其平面圖均沿x軸正向傳播;當(dāng)λi(i=1,2,3)同為正數(shù)時(shí),孤子解u,w為3個(gè)孤子相互追趕碰撞,其平面圖均沿x軸負(fù)向傳播;當(dāng)λi(i=1,2,3)兩正一負(fù)或兩負(fù)一正時(shí),孤子解u,w是2個(gè)孤子追趕碰撞和1個(gè)孤子正碰,如圖3所示.

圖3 (2+1)維MKdV方程的3個(gè)孤子解Fig.3 Three-solitons solution of (2+1) dimensional MKdV equation

當(dāng)n選取不同值時(shí),利用3種Darboux變換T1,T2和T,可以得到(2+1)維MKdV方程更多不同的孤子解.

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