一類具非局部邊界條件的擬線性拋物方程解的整體存在與爆破

孟繁慧,高文杰

(1.長春金融高等專科學校,長春 130028;2.吉林大學 數學學院,長春 130012)

0 引 言

考慮如下具非局部邊界條件和內部吸收項的擬線性拋物型方程:

(1)

其中:Ω是N(N≥1)中具有光滑邊界?Ω的有界區域;a為正常數;u0(x),f(s)和k(x,y)分別滿足如下假設條件:

(H1)f∈C([0,∞))∩C1((0,∞)),滿足f(0)≥0,f′(s)>0,s∈(0,∞);

許多物理、 化學或生物種群動力學現象都可以用具非局部源的拋物型方程描述.例如,文獻[1]指出非局部反應項能更精確地描述可壓縮活性氣體的燃燒過程.當f(s)=sp(0

(2)

在某種特殊情形下解的整體存在和衰減性質;文獻[6]給出了問題(2)在k(x,y)≥0,g(x,u)=cu(其中c是一個沒有任何限制的常數)情形下解的一個整體上界和特殊情形時邊界值的衰減性質； 文獻[7]建立了問題(2)的比較原理,并對一般形式的g(x,u)證明了問題(2)古典解的局部存在性,對g(x,u)=c(x)u的特殊情形,證明了解的整體存在性和指數增長性質.當g(x,u)關于u的增長超線性時,問題(2)的解可能在有限時刻爆破.特別地,文獻[8]在g(x,u)=g(u)情形下討論了問題(2),用上下解的方法給出了此時問題正解在有限時刻爆破的充分條件,此外,還給出了當g(u)=up及g(u)=eu時解的爆破速率估計.

考慮如下具非局部邊界條件和局部反應項的多孔介質方程:

(3)

其中:m,p>1為常數;初值u0(x)和權函數k(x,y)滿足與問題(1)相同的假設.文獻[9]給出了問題(3)存在整體解的充分必要條件,并得到了解的爆破速率估計.文獻[10-16]研究了具非局部邊界條件的拋物方程或方程組,得到了一些有意義的結果.

上述研究表明,問題(2),(3)解的增長或衰減性質依賴于g(x,u)的增長,這與具齊次邊界條件的半線性方程解的性質相似.另一方面,由于非局部邊值的存在性,解的漸近性質也依賴于權函數k(x,y).基于此,本文研究問題(1)正古典解的漸近性質,考慮非線性擴散、 非局部項、 吸收項和非局部邊界條件對解漸近性質的綜合影響.

1 比較原理

則稱v(x,t)是問題(1)的一個下解.改變定義1中不等號的方向可以得到上解的定義.如果函數v(x,t)既是問題(1)的一個上解又是一個下解,則稱其為問題(1)的一個(古典)解.

問題(1)古典解的局部存在性可以用標準壓縮映像不動點定理得到[7,17].正古典解的唯一性可由下述引理推出.

(4)

2 解的整體存在和爆破

證明: 考慮如下常微分方程初值問題:

(5)

證明: 先構造問題(1)的一個整體存在且下方有界的上解.記λ1和φ1(x)>0(x∈Ω)分別是如下特征值問題的第一特征值和相應的特征函數:

-Δφ=λφ,x∈Ω;φ(x)=0,x∈?Ω.

(6)

(7)

Δv=div(v)

可得

(9)

另一方面,由式(7)可知,對任意的x∈?Ω都有

(10)

(11)

證明: 通過構造一個下方有界且爆破的下解完成證明.考慮如下Cauchy問題:

(12)

(14)

(15)

式(13)～(15)表明,v(x,t)是問題(1)的一個下方有界的爆破下解.再次應用命題1可知u(x,t)也在有限時刻爆破.證畢.

還可證明當非局部項的系數a適當大時,對任意滿足假設(H3)的k(x,y),問題(1)的解都在有限時刻爆破.為此,記ψ(x)為下述橢圓問題的唯一正解:

-Δψ(x)=1,x∈Ω;ψ(x)=0,x∈?Ω.

(16)

證明: 考慮如下齊次Dirichlet邊值問題:

(17)

(H4) 存在常數δ>0,使得對任意的x∈Ω,有

這里δ是滿足δ+1≥a|Ω|的正常數.

引理2假設(H2)～(H4)成立,且u(x,t)在T時刻爆破,則對任意的(x,t)∈Ω×[0,T),有Δu≤0.

設w(x,t)=Δu(x,t),則由式(1)可知對任意的(x,t)∈Ω×(0,T),有

wt=upΔw+2pup-1u·w+pu-1utw+p(p-1)u-2ut-2pup-1-upw.

(18)

注意到ut≥0,0

wt-upΔw-2pup-1u·w≤pu-1utw-upw, (x,t)∈Ω×(0,T).

(19)

最后由假設條件(H4)可知

w(x,0)=Δu0(x)≤0,x∈Ω.

(21)

結合式(19)～(21)及引理1可得w(x,t)=Δu≤0,(x,t)∈Ω×(0,T).證畢.

引理3假設(H2)～(H4)成立,且u(x,t)在T時刻爆破.則存在正常數C1,使得U(t)≥C1(T-t)-1/p.

證明: 由方程(1)、U(t)的定義及引理2可得

U′(t)≤a|Ω|Up+1(t).

(22)

對式(22)在(t,T)上積分并注意到當t→T時U(t)→∞,得U(t)≥C1(T-t)-1/p,這里C1=(ap|Ω|)-1/p.證畢.

引理4假設(H2)～(H4)成立,且u(x,t)在T時刻爆破.則有ut≥δup+1,(x,t)∈Ω×(0,T).

證明: 記J(x,t)=ut-δup+1.直接計算可得

由Young不等式和H?lder不等式可知,對任意的正常數θ,都有

對任意的(x,t)∈?Ω×(0,T),有

將式(27)代入式(26)得

(28)

此外,假設(H4)蘊含

J(x,0)≥(δ-δ)u0(x)p+1=0,x∈Ω.

(29)

對ut≥δup+1在區間(t,T)上直接積分可得

u(x,t)≤C2(T-t)-1/p, (x,t)∈Ω×(0,T),

(30)

這里C2=(δp)-1/p.綜合U(t)≥C1(T-t)-1/p和式(30),得:

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