對稱式三輥卷板機厚板壓彎工藝參數分析

喬 波，雷步芳，付建華，趙 康，牛 婷

(太原科技大學材料科學與工程學院，山西 太原 030024)

0 前言

對稱式三輥卷板機主要工作部分由一個上輥和兩個對稱分布于上輥兩端的下輥組成(圖1)，板材的最終成形曲率由上輥壓下量決定(本文不考慮回彈)，上輥壓下量越大，成型后的半徑越小。

因為板材彎曲過程中的變形存在幾何非線性，板材與下輥的接觸點的位置隨著上輥的壓下不停的變化，再加上卷板機自身在受力的情況下也會發生彈性變形，因此，很難找到統一的簡化的數學模型去研究板材的彎曲過程。文獻［1］對四輥卷板機成形工藝參數進行了深入的探索，文獻［2］通過幾何方法計算了考慮回彈的冪次硬化材料在三輥卷板機下彎曲時的壓下量與板料最終半徑的數學關系。然而，對稱式三輥卷板機卷制雙線性硬化板料的研究較少，因此確定上輥壓下時雙線性硬化模型材料變形時上輥與板料之間的接觸力，上輥壓下量和板料最終成形半徑間的關系具有重要的現實意義。

1 板材滾彎過程

板材滾彎過程如圖1所示，首先，送料輥送料到合適位置(圖1a)，其次，上輥根據需要成形的半徑壓下到一定位置(圖1b)，然后，上下輥同時轉動，板材在上下輥摩擦力的作用下開始連續彎曲(圖1c、圖1d)，最后，卷板機反向轉動帶動板材反方向再次被滾壓(圖1e)，如此反復直到板料彎曲半徑趨于穩定為止(圖1f)。

圖1 對稱式三輥卷板機的工作過程Fig.1 Working process of symmetrical three-roll veneer reeling machine

本文基于如下基本假設條件，研究卷板過程中上輥壓下量和板料最終成形半徑間的關系。

(1)板材彎曲時應力中性層與幾何中性層重合。

(2)板材滾彎過程中厚度保持不變。

(3)忽略板料自身重力對其受力情況的影響。

(4)板材屬于平面應變問題。因為板材寬度較厚度比值大于8，所以近似認為板材變形屬于平面應變問題。

(5)厚度方向應力為零。因為板材彎曲所要求的最終成型后的半徑較大，所以近似認為板材彎曲厚度方向各纖維間的壓縮力為零。

(6)平截面假設。板材彎曲前垂直于幾何中性層的截面在彎曲后任然垂直于幾何中性層。

(7)板材單向拉伸的應力應變關系為雙線性硬化模型，既:Y=σs+E1εp，如圖2所示，式中，εp=ε1－εE，εE是單向拉伸時材料的彈性應變量;ε1是總的應變;εP是塑性應變;σs是材料的屈服強度，是材料的切向模量。

圖2 單向拉伸應力應變曲線Fig.2 Stress strain curve of uniaxial tension

2 板料截面所受剪力與彎矩間的關系

由彈性力學知板材彈性彎曲時截面處彎矩與剪力存在某種關系，下面分析塑性彎曲時板材任意截面所受彎矩與對應截面處所受剪力之間的數學關系。

2.1 板材彎曲時最大彎矩的計算

上輥與板材接觸的位置是板材所受的最大彎矩處［3］，將單向拉伸時的應力應變關系轉換為平面應變狀態時應力應變狀態關系:

文獻［4］給出了板材彎曲任意截面的彎矩

2.2 板料受力分析

取板料上輥壓下處的微單元進行分析。如圖3示。

圖3 板料彎矩分析Fig.3 Analysis of plate bending moment

將圖中各個力對D點進行力矩計算，并且對D列力矩平衡方程

略去高階小量，因為dθ足夠小sin(dθ)≈dθ所以，得到

其中，dS=rσdθ，根據假設(1)有

3 壓下過程分析

板料壓彎過程受力情況具有對稱性，因此，這里取壓彎模型的一半進行分析(圖4)，其任意橫截面處所受剪力為FS，所受軸力為N，上輥壓下量為U。

板料在未受到上輥壓力作用時保持平直，與下輥的接觸點在y軸的正半軸。當板受到上輥向下的壓力P2時開始彎曲，板料與下輥的接觸點也從剛開始的y軸正半軸移動到現在的θ1位置(這里用接觸點與下輥圓心的連線和垂直向下方向的夾角θ1表征接觸點的移動)，并且隨著上輥的壓下，θ1不斷增大。板材除了受到下輥的支撐力外，還受到下輥對其的摩擦力，大小為P1μ，方向如圖示。對板材列力平衡方程，可以推導出剪力FS和軸力N為

圖4 板料壓彎受力分析Fig.4 Stress analysis of plate bending

式中，μ為板材與軋輥間的摩擦系數;ω為摩擦角，即tanω=μ;θ為任意截面與y軸所成夾角。

設支撐力P1方向與板材滾彎后幾何中性層交點為(x1，y1)，上輥壓下力P2方向與板材滾彎后幾何中性層交點為(x2，y1)，任意截面處幾何中性層的坐標為(x，y)可得

式中，r1為下輥半徑;t為板材厚度;a為兩下輥中心距。

將式(5)代入式(4)得

對(9)式等號兩邊同時積分，并且注意到θ=θ1時，k=0得

將k=k2，θ=0代入(10)式，可以得出下輥與板材間的接觸力P1。

將式(11)代入式(10)即可得到曲率k和對應處θ的關系，令θ=H(k)，得

幾何中性層弧長的增量可以表示為

因此，滾彎板料幾何中性層在x方向增量和y方向增量可以表示為

將(12)和(13)代入(14)并且兩邊積分得

將式(7)，(8)分別代入式(14)，(15)得到以下方程

對圖4中的板整體進行受力分析，可得出上輥壓下力P2和下輥對板的支撐力P1之間的關系

將式(11)代入式(12)得到θ1和 k，k2的關系，將式(12)代入(17)得到θ1和k2間的關系，因為預成型半徑k2為已知參數，所以，求解方程(17)就可最終確定θ1。然后將θ1和k2代入方程(11)即可求得P1，將P1代入(19)，可最終求得上輥壓下力P2。將上面計算得出的θ1和P1代入公式(18)，可得到上輥壓下量U。

4 數值計算結果分析

選取板材材料的彈性模量Ee=205 000 MPa，屈服強度為σs=235 MPa，泊松比v=0.28。卷板機的上輥半徑R1=700 mm，下輥半徑r1=425 mm，下輥中心距a=1 700 mm，板材厚度t=300 mm，板材寬度t=300 mm，對re=E'/E=0.05，0.1，0.15，0.2分別進行計算，以觀察re對板材彎曲各工藝參數的影響。利用MATLAB軟件fsolve函數的Levenberg-Marquardt算法進行計算，并且利用optimset函數進行如下優化設置:允許函數計算的最大次數MaxFunEvals=20 000，允許迭代的最大次數MaxIter=5 000，最終計算結果如圖5，圖6，圖7。

5 結論

［1］lin Y H，Hua M.Influence of strain hardening on continuous plate roll－ bending Process［J］.International Journal of Non－Linear Mechanics，2000，35:883－896.

［2］Gandhi A H，Raval H K.Analytical and empirical modeling of top roller position for three－roller cylindrical bending of plates and its experimental verification［J］.journal of materials processing technology，2008，197:268－278.

［3］Hua M，Sansome D H，Baines K.Mathematical modeling of the internal bending moment atthe top roll contact in multi－ pass four－ roll thin － plate bending［J］.Journal of Materials Processing Technology 1995，52:425－459.

［4］Hua M，Lin Y H.Effect of strain hardening on the continuous four－ roll plate edge bending process［J］.Journal of Materials Processing Technology.1999，89－90:12－18.