Cosh窗函數(shù)改進(jìn)及其在艦船振動(dòng)分析中的應(yīng)用

程 果，何 琳，崔立林

(1．海軍工程大學(xué) 振動(dòng)與噪聲研究所，湖北 武漢430033;2．船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)試驗(yàn)室，湖北 武漢430033)

0 引 言

使用窗函數(shù)是進(jìn)行頻譜分析的重要手段，同時(shí)也是設(shè)計(jì)FIR 數(shù)字濾波器的一個(gè)有效方法［1］。因其具有嚴(yán)格的相位特性，且可以隨意調(diào)節(jié)幅度特性，在艦船振動(dòng)信號(hào)分析領(lǐng)域中已得到廣泛應(yīng)用［2］，但由于艦船機(jī)械設(shè)備工況的多樣化，往往需要自行設(shè)計(jì)和選擇合適的窗函數(shù)［1］。

目前，研究較多的主要有Cosh 窗、Kaiser 窗、Ultra spherical 窗等［3］，這些窗函數(shù)在濾波器設(shè)計(jì)上已形成較成熟的理論［4－5］。其中，Cosh 窗相比于表達(dá)式為級(jí)數(shù)形式的Kaiser 窗而言，形式簡(jiǎn)單，計(jì)算量較小。但在主瓣寬度一定時(shí)，Cosh 窗對(duì)旁瓣的抑制略顯不足。為此，主要通過(guò)2 種途徑對(duì)Cosh 窗進(jìn)行改進(jìn)，對(duì)Cosh 窗函數(shù)本身各項(xiàng)參數(shù)的優(yōu)化選取［6－7］以及與其他窗函數(shù)進(jìn)行組合［5］，但是仍然存在一些問(wèn)題。參考文獻(xiàn)［4］研究討論了應(yīng)用Hamming 窗組合改進(jìn)Cosh 窗的性能，這一組合窗函數(shù)在參數(shù)選擇恰當(dāng)?shù)那闆r下，性能優(yōu)于Kaiser 窗、Cosh 窗和Hamming 窗，但存在性能調(diào)節(jié)區(qū)間有限、適用范圍較小的問(wèn)題，其旁瓣抑制能力較為有限，很難達(dá)到－50 dB 以上。

本文針對(duì)Cosh 窗函數(shù)的特點(diǎn)，提出了一種新的Gaussian-Cosh 組合改進(jìn)窗函數(shù)，經(jīng)試驗(yàn)驗(yàn)證，大大提高了Cosh 窗的旁瓣抑制能力，拓寬了其性能調(diào)節(jié)區(qū)間，增強(qiáng)了其適用性。

1 Cosh 窗函數(shù)組合改進(jìn)

1.1 Gaussian-Cosh 窗函數(shù)的提出

Cosh 窗在主瓣寬度一定時(shí)，對(duì)旁瓣的抑制能力有限，通過(guò)組合改進(jìn)窗函數(shù)可提高其旁瓣抑制能力，通常對(duì)稱(chēng)的窗函數(shù)擁有更優(yōu)良的頻率分辨性能［8］。Gaussian 窗函數(shù)為軸對(duì)稱(chēng)函數(shù)，且具有良好的旁瓣抑制能力［9］。本文結(jié)合Cosh 窗和Gaussian 窗函數(shù)特點(diǎn)，提出了Gaussian-Cosh 組合改進(jìn)窗函數(shù):

式中:N 為采樣數(shù);c 為加權(quán)系數(shù)。第一項(xiàng)為高斯窗函數(shù)表達(dá)式［9］，α 為其參數(shù);由文獻(xiàn)［9］可知，參變量α 取值越大，Gaussian 窗的旁瓣抑制效果就越優(yōu)秀，但主瓣寬度越寬。第二項(xiàng)為Cosh 窗函數(shù)表達(dá)式［4］，αc為其參數(shù);由文獻(xiàn)［4］可知，αc取值越大，Cosh 窗對(duì)旁瓣的抑制效果越佳，相應(yīng)的代價(jià)也是更寬的主瓣。

1.2 Gaussian-Cosh 窗函數(shù)參數(shù)的選擇

衡量窗函數(shù)性能常用以下2 個(gè)參數(shù)［1］:①3 dB主瓣寬度W3dB;②最大旁瓣峰值幅度R。

圖1 選用不同加權(quán)系數(shù)c，W3dB隨R 的變化關(guān)系，N=51Fig.1 Relation between W3dBand R for different value of c，with N=51

圖1 為改進(jìn)后的Gaussian-Cosh 窗在選用不同的加權(quán)系數(shù)c 的情況下，3 dB 主瓣寬度隨最大旁瓣峰值幅度的變化關(guān)系示意圖。在最大旁瓣峰值幅度相同的情況下，顯然主瓣越窄越好。因此，應(yīng)選用最接近橫軸的曲線所對(duì)應(yīng)的參數(shù)c 值。以圖1所示的－44 dB＜R ＜－74 dB 區(qū)間為例，加權(quán)系數(shù)c 推薦取值如下:

2 窗函數(shù)性能對(duì)比

Kaiser 窗性能良好，且可以通過(guò)調(diào)整相應(yīng)參數(shù)滿足各種實(shí)際需要，但Kaiser 窗函數(shù)只有級(jí)數(shù)形式，計(jì)算時(shí)間遠(yuǎn)大于Cosh 窗、Hamming-Cosh 窗等窗函數(shù)［4］。而提出的Gaussian-Cosh 窗的計(jì)算時(shí)間略少于Hamming-Cosh 窗 (相差約4%)，略多于Cosh 窗(相差約9%)，與Kaiser 窗相比，計(jì)算量大大減少。

圖2 Gaussian-Cosh 窗與Hamming-Cosh 窗、Cosh 窗之間性能對(duì)比，N=51Fig.2 Comparison of the Gaussian-Cosh，Hamming-Cosh and Cosh window for N=51

圖2 為提出的窗函數(shù)與Hamming-Cosh 窗、Cosh 窗在取定合適的參數(shù)后之間的性能對(duì)比。如圖所示，在最大旁瓣峰值幅度較大時(shí)(大于－47 dB)，Hamming-Cosh 窗與Gaussian-Cosh 窗性能接近;而在最大旁瓣峰值幅度較小時(shí)，由于Hamming 窗性能固定，加強(qiáng)旁瓣抑制能力必須加大c 值，因而Hamming-Cosh 窗整體性能趨于Cosh 窗。而改進(jìn)后的Gaussian-Cosh 窗的旁瓣抑制性能，相對(duì)于Cosh 窗平均提高了23%以上。

Gaussian-Cosh 窗3 dB 主瓣寬度與最大旁瓣峰值幅度之間的關(guān)系可通過(guò)下式近似擬合:

W3dB=0.000 4R3+0.031 9R2+1.224 3R+18.472，－70 ＜R ＜－45。

3 基于Gaussian-Cosh 窗的試驗(yàn)

為了驗(yàn)證新提出的窗函數(shù)的實(shí)用性，采用1∶1的航行器艙段模型進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)備布置如圖3所示。在模型內(nèi)部布置激振器、電機(jī)和海水泵各1 臺(tái)。在模型殼體上選取19 個(gè)測(cè)量點(diǎn)，布置加速度傳感器。設(shè)定分析頻率為1 600 Hz，采樣頻率為4 096 Hz，采樣時(shí)間為4 s。模擬艙段內(nèi)設(shè)備的實(shí)際工作狀態(tài):停止激振器，開(kāi)啟電機(jī)，海水泵泵閥半開(kāi)。選取電機(jī)基座傳感器數(shù)據(jù)為研究對(duì)象。

圖3 艙段模型圖Fig.3 Diagram of cabin model

分別采用Cosh 窗和Gaussian-Cosh 窗對(duì)上述工況下電機(jī)產(chǎn)生的振動(dòng)信號(hào)加窗處理以進(jìn)行頻譜分析。在電機(jī)主要振動(dòng)頻率附近，即1 425 ～1 450 Hz，其頻譜如圖4所示。采用Gaussian-Cosh 窗處理后，與Cosh 窗相比，信號(hào)的峰值位置沒(méi)有改變，但信號(hào)的主瓣寬度更窄。可以看到，因?yàn)镚aussian-Cosh 窗能量泄漏較少，頻率分辨率更好，故而在Gaussian-Cosh 窗處理的結(jié)果中，可以清晰地辨識(shí)出來(lái)1 441 Hz 處的峰;而在Cosh窗處理的結(jié)果中，其則被鄰近較強(qiáng)的信號(hào)所完全淹沒(méi)。

圖4 基于Gaussian-Cosh 窗和Cosh 窗的頻譜分析結(jié)果Fig.4 Spectral analysis results with the Gaussian-Cosh window and Cosh window

4 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)Cosh 窗的不足，提出了相應(yīng)的組合改進(jìn)方案。之后對(duì)其各項(xiàng)參數(shù)和性能展開(kāi)了討論，并在試驗(yàn)中驗(yàn)證其實(shí)用性，得到以下結(jié)論:

1)在主瓣寬度相同的情況下，Gaussian-Cosh窗函數(shù)的旁瓣抑制性能比Cosh 窗函數(shù)提高了23%以上。同時(shí)，新提出的窗函數(shù)拓寬了Cosh 窗組合改進(jìn)的適用范圍。

2)由航行器電機(jī)工況模擬試驗(yàn)證明，運(yùn)用Gaussian-Cosh 窗進(jìn)行頻譜分析，可以更好地減少能量泄漏，擁有更好的頻率識(shí)別與分辨性能。

3)Gaussian-Cosh 窗函數(shù)通過(guò)參數(shù)α，c 的選擇，可以在更大范圍內(nèi)調(diào)整窗函數(shù)的性能。文中給出了在常用區(qū)間內(nèi)加權(quán)系數(shù)c 的推薦值。同時(shí)，新提出的窗函數(shù)具有較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式，相對(duì)于Kaiser 窗等窗函數(shù)計(jì)算較為便捷。在理論分析中，也具有其實(shí)用性。

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