敷設去耦層水下簡支撐板的振動特性

趙 軍，何世平

( 海軍工程大學 機械工程系，湖北 武漢430033)

0 引 言

敷設去耦覆蓋層是艦艇減振降噪的一種重要措施，它可減小艦艇殼體振動向外部流體的傳遞，從而降低水下輻射噪聲。要達到上述目的，去耦覆蓋層應選擇低剛度的柔性材料。一個極限的情況是，艦艇殼體與流體之間插入一個空氣層，將完全隔離艦艇殼體振動向流體中的傳遞。在實際應用中，通常只是在艦艇表面局部敷設去耦覆蓋層，但這樣會產生如下問題:敷設去耦層區域的結構振動是否會增加從而增加向周邊結構的傳遞，影響去耦覆蓋層的降噪效果?為此，本文對敷設去耦層的水下結構振動特性開展了理論研究。

對于去耦層的研究，目前國內外大多數研究集中于去耦層的隔聲性能。陶猛［1］等利用傳遞矩陣法研究了無限大板上敷設多層去耦層的隔聲性能，并指出當鋼板質量較大或者頻率較高時，柔性層對于板本身的減振效果實際上很小。該結論的假設基礎實質上是針對鋼板本身的機械阻抗較大時的情況，而對于機械阻抗較小的板在敷設去耦層后在高頻上的振動特性并沒有給出。Alain［2］等將去耦層等效為彈性元件建立了一邊為空氣、一邊為水的簡支板在敷設去耦層后的聲輻射特性。他將該模型和三維模型進行了比較，指出去耦層的剪切波對板的聲輻射影響較小，因此在去耦材料較軟較輕時，2 種模型在去耦層描述上一致性較好。Laulagnet［3］運用三維模型研究了有限圓柱殼在敷設去耦材料后水下的聲輻射特性，提出:①在敷設去耦層后圓柱殼的振動在低頻時幾乎沒有變化;②在高頻階段，敷設去耦層后板的振動存在放大現象。但他的重點在反共振頻率上，并沒有給出具體的機理性解釋，也未闡明是否敷設去耦層的有限板也有上述同樣的振動特性。

本文將去耦層等效為彈性元件推導了一邊為空氣、一邊為水的簡支撐鋼板在敷設去耦覆蓋層后的運動微分方程，并運用簡正模態法推導出敷設去耦層后板的均方速度及干面均方速度插入損失。在此基礎上，又分別研究了敷設不同去耦層后板的振動特性變化，以及敷設去耦層后板在不同激勵頻率段的振動特性。

1 理論描述

1.1 物理模型

取一嵌于無限大障板中的四邊簡支矩形板作為研究對象，矩形簡支板表面均勻敷設去耦覆蓋層，如圖1所示。障板上方為水，障板下方為空氣。矩形板的物理描述采用了薄板克希霍夫理論(只考慮彎曲運動)，而在去耦覆蓋層的描述上將其等效為彈性元件(忽略了去耦層的剪切運動、彎曲運動及拉壓運動)。

圖1 浸入在水中覆蓋去耦層的四端簡支板簡圖Fig.1 Schematic representation of the baffled plate covered with a decoupling layer and immersed in water

將去耦層等效為彈性元件的假設基礎是去耦層材料柔軟，厚度方向變形遠大于其他方向的變形。通過以上假設可將圖1 中的物理模型簡化為圖2，圖中w1和w2分別為板和去耦層表面的厚度方向位移。

圖2 簡化物理模型Fig.2 Simplied physical model

1.2 運動方程建立及求解

基板的運動方程寫成頻域形式為

相比于基板的密度，去耦層密度較小，可以忽略其質量，因此去耦層可以等效為無質量的彈性元件。此時施加在去耦層表面的聲壓(忽略空氣對基板的聲壓作用)，式(1)中的未知量為板厚度上位移和聲壓P(Q)。

去耦層等效為彈性元件后可進一步建立去耦層表面運動和施加在去耦層表面聲壓作用的關系，即

式中Zc為去耦材料的阻抗。

重流體中的聲壓控制方程為Helmholtz 方程，即

式中:M 為流體空間的一點;k0為波數，k0=ω/c0，c0為水中的聲速。

通過聲壓和去耦層表面法向速度的連續性可得

利用瑞利積分得出聲壓

式中:p0為重流體的密度;ηM為板的法向指向重流體;Q 和M 為去耦層表面上的2 點;S 為去耦層的表面;G(M，Q)為半空間格林函數，其表達式為

G(M，Q)=e-jkR(M，Q)/2πR(M，Q)。

由式(1)、式(2)和式(4)組成的方程組中仍含有3 個未知數，P(Q)。聯合式(2)和式(4)化為

四端簡支邊界條件下為:

其中，a 和b 分別為板x 方向長度，y 方向寬度。

同理，將重流體對去耦層的聲壓用簡正模態展開為

簡正模態分布函數為

將上式寫成矩陣形式得

1.3 均方速度的表達式

為了表示板表面振動情況，定義均方速度，均方速度表達式如下:

同理，定義干面均方速度插入損失表達式為

2 數值計算

取板長為1.2 m，寬為1.2 m，厚為0.009 m，板體密度取7 850 kg/m3，板的楊氏模量E=2.1*1011Pa，損耗因子取0.005;重流體為水 (ρ0=1 000 kg/m3，水中聲速c0=1 460 m/s)，去耦層厚度取0.01 m，去耦層楊氏模量E 分別取106，107，108Pa。激勵力采用幅值為1 N 的簡諧點力激勵，激勵位置取坐標(0.3，0.3)，所取頻率范圍遠低于板的臨界頻率，均方速度參考值為1 m2/s2(dB，re:1 m2/s2)。

將板厚度上的位移和聲壓按簡正模態展開的收斂性需進一步研究。圖3 給出了均方速度在取不同階模態情況下的收斂性。可以看出，在最高階模態取15 和20 時，其均方速度趨于一致，說明在最高模態數大于15 時均方速度的收斂性越好。因此所取最高模態數至少為15 數值計算才能有較好的收斂性，為保證精度在下面的數值計算中最高階模態取20。

圖3 覆蓋去耦層后板的均方速度在取不同階模態情況下的收斂性(E=108Pa，ηC=0)Fig.3 Covergence of the mean square velocity of the covered plate at different modal (E=108Pa，ηC=0)

1)未敷設去耦層的板和敷設去耦層的板均方速度的比較

圖4 ～圖6 分別給出了去耦層楊氏模量E 取不同值時敷設去耦層后與未敷設去耦層的基板均方速度比較。在低頻段f ＜500 Hz 時，敷設去耦層后板的均方速度和未敷設去耦層的板的均方速度相差均很小;在高頻段 (見圖4 和圖5)f ＞3 000 Hz 時，板的均方速度在敷設后相對未敷設前有明顯的放大現象，并且即使在圖6 楊氏模量較大(E=108Pa，ηC=0)，f ＞4 000 Hz 時，仍存在放大現象。圖6 也比較了去耦層不同損耗因子下敷設去耦層后板的均方速度。可以看出，隨著損耗因子的增大，敷設去耦層后板的均方速度明顯減小，放大現象減弱，這主要是由于板的振動能在去耦層高損耗因子下轉化為內能的部分較多。

圖4 未敷設去耦層板和敷設去耦層板的均方速度比較Fig.4 Comparison of mean square velocity Between plate uncovered and covered

2)敷設去耦層的板和真空中板均方速度的比較

圖7 ～圖9 分別給出了去耦層取不同楊氏模量時敷設去耦層后板與真空中板的均方速度之比。從圖7 和圖8 可以看出，在去耦層楊氏模量較小時，敷設去耦層后板的均方速度逼近與真空中板的均方速度，比較圖7 和圖8 可以發現，在較大楊氏模量下，逼近真空的現象在更高頻才能出現;而在圖9中E=108Pa 時，由于截取頻率上限較小，沒有出現逼近真空的現象。

圖7 真空中板和敷設去耦層板的均方速度比較Fig.7 Comparison of mean square velocity Between plate in vacuo and covered

3 板的振動放大現象

數值計算給出的均方速度是各階模態加權所得結果，單從數值計算中無法解釋不同頻率段敷設去耦層后板的位移相應的變化，因為點激勵下不同頻率段，所激勵出的模態是不一樣的，并且模態間的耦合系數也不一樣，因此需從單模態下進行研究。不失一般性取板的(m，n)階模態。根據上文的干面均方速度插入損失的定義，推得單模態下干面均方速度插入損失為

討論去耦層在取不同阻抗下的干面均方速度插入損失:

1)當Zc很大→∞時，可以看出

干面均方速度插入損失式(13)→0，說明在去耦層阻抗極大時，敷設了去耦層后的板單模態振動既不減小也不放大。由于(m，n)階模態的任意給定性便可推斷出任意模態在去耦層阻抗極高的情況下都符合以上結論，因此可以推斷出在去耦層阻抗極大時，去耦層對板的振動既不放大也沒有相應的減小作用。由于本文所采用的假設基礎是去耦材料較軟，因此這里Zc很大實際上指的是去耦層厚度很薄時。

2)當Zc很小→0 時，可以看出

式(13)可以化為

由式(14)可以得出在去耦層阻抗極小的情況下，敷設去耦層板的單模態均方速度逼近于真空中板的均方速度。由于(m，n)階模態的任意給定性，可將上述結論推廣至任意模態下，即去耦層阻抗極小時板的振動趨向于真空中的振動。

3)當Zc為有限值域時，需考慮頻率的影響，因為C 與模態耦合系數Zmnpq相關，在不同頻率上Zmnpq的性質是不一樣的。

根據文獻［13］的結論，在低頻k0* a ＜＜1 時，自耦合系數Zmnmn的實部和虛部都很小，同樣對于互耦合系數的實部虛部也是這樣，因此可在低頻有如下極限:C/Zc→0，插入損失就趨向于0，即在k0* a＜＜1 時，去耦層對板的單模態幾乎沒有任何影響。推廣到任意模態，可得出在低頻k0* a ＜＜1 情況下，去耦層對板的振動幾乎沒有任何影響。

在高頻k0* a ＞＞1 時，根據文獻［13］阻抗耦合系數的極限性質可知:①自耦合系數Zmnmn的實部趨向于ρ0c0，虛部趨向于0;②互耦合系數實部與虛部都趨向于0。這樣對于單模態下C 就可以化簡為

進一步化簡式(13)，可得

根據數學不等式性質得:

即在高頻u=k0* a ＞＞1 時，當頻率等于真空中的模態頻率時干面均方速度損失最大。由于在高頻上總存在式(15)大于0，即干面均方速度損失大于0，這說明在高頻總存在敷設去耦層后板振動的放大現象。當不在真空中的模態頻率時，A≠0，高頻時忽略掉，式(16)可進一步化簡為

式(17)實際上是高頻時真空中板的均方與重流體作用板的均方速度之比，該式說明了在高頻去耦效果好，使板與重流體間的耦合作用越來越弱，因此敷設去耦層板的振動在高頻階段逼近于真空中板的振動。所以可以得出在Zc有限值時高頻階段(k0* a ＞＞1 )敷設去耦層板的振動總有趨向于真空中板的振動趨勢。因此在高頻上敷設去耦層的板在高頻階段相對未敷設的板振動是放大的。

4 結 語

1)將去耦層等效為彈性元件簡化了去耦層的描述，應用簡正模態法推導出敷設去耦層后板的均方速度，并分析了Zc在不同情況下的干面均方速度插入損失:在Zc極大時，去耦層對板的振動沒有放大或減小作用;在Zc極小時，重流體作用下敷設去耦層板的振動等效于真空中的振動。數值計算表面在有限值時，也有上述趨勢，隨著Zc的增大，去耦層對板振動影響程度越來越小;隨著Zc的減小，板的振動逐漸逼近于真空中板的振動。

2)在Zc有限值時，低頻時k0* a ＜＜1，由于流固耦合現象較弱和去耦層效率較低的原因，去耦層對板的振動幾乎沒有任何影響;高頻時k0* a ＞＞1，去耦層去耦效率的提高使板與重流體間的流固耦合作用越來越弱，隨著頻率增大板的振動逐漸逼近于真空中板的振動，因此敷設去耦層的板在高頻階段相對未敷設的板振動是放大的。隨著去耦層阻尼損耗因子的增加，放大現象減弱。

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