基于B樣條函數的精密衛星鐘差插值

華 亮

(湛江市測繪大隊，廣東 湛江 524002)

1 引言

在GPS的精密單點定位以及相對定位中，都需要根據衛星星歷、鐘差文件計算每一時刻的衛星坐標，不同情況下對衛星星歷及鐘差的采樣間隔要求不同。導航衛星通常采用的原子鐘為銣鐘或者銫鐘，其存在頻移、頻漂、頻漂率等物理性質，衛星鐘頻率漂移引起的衛星鐘時間與GPS標準時之間的差值稱為衛星鐘差。GPS通過地面監控站對衛星監側，確定衛星鐘的偏差。衛星鐘差對于定位的影響分為兩項，一項是會引起衛星坐標計算的誤差，另一項是引起衛星與接收機距離的誤差，如果定位精度需要厘米級時，則衛星鐘差精度需要達到納秒級，因此鐘差對定位精度影響非常重要。在實際定位中，接收機的數據采樣間隔為30S、15S甚至更高的1S等高頻采樣，為了計算每個采樣時刻的位置，則必須對IGS提供的精密鐘差產品進行插值或者擬合獲取適應于接收機采樣率的鐘差數據。

在數據處理中，常用的插值方法較多，如Lagrange插值、Newton多項式插值、Hermite插值、樣條函數插值、切比雪夫多項式插值、三角函數插值等。在GPS數據處理中，常用的則為Lagrange多項式插值。

B樣條函數作為一類基本的樣條函數，其方法通用、逼近性能好，所以在數據處理中廣泛應用。文獻［3］將B樣條函數用于了局部重力場的逼近。文獻［4］將B樣條函數平滑用于航空矢量重力測量中，對GPS相位差分直接計算的加速度進行了處理。本文將B樣條函數應用于GPS精密鐘差的插值計算并給出了具體的計算方案，且對IGS公布的精密鐘差數據進行處理，與CODE公布的5S間隔數據進行了比較，最后對插值的精度進行了分析。

2 B樣條函數插值的基本原理

本文處理的數據是鐘差數據的時間序列( ti，yi)(i=1，2，....，n)。對 歷 元 ti作 分 劃，其 中 c=min(ti)，d=max(ti)則分劃△:c=t0＜t1＜....＜tN=d。

加入新節點將分劃△擴展為:

通常，m次B樣條函數能夠由遞推公式計算得到:

而且m次樣條函數S可以通過B樣條基函數表示為:

它包含有{N+m}個待定系數 a－m，a－m+1，....，aN－1。

選擇m次樣條函數S()x作為擬合函數，根據最小二乘原理，可以利用下式求解待定系數。

得到正規方程組:

根據上文求出(2)式中的N+m個系數，則即可得到插值的多項式。

從上述推導過程可知，B樣條函數的階次m以及分劃長度N將可以產生不同的插值效果，本文將結合實際數據進行討論與分析。

3 衛星鐘差插值算例分析

目前，IGS相關機構提供的精密鐘差數據間隔為5min、30S，每個文件從當天0點0分0秒開始至23時55分0秒結束，文件提供了所有衛星的鐘差數據，并給出了用于計算衛星鐘差的地面接收機的鐘差數據。在數據處理時，本文的策略是首先是選定某一顆衛星一天的數據進行處理，討論B樣條函數的參數變化對插值精度的影響，之后則隨機選取較長時間段的鐘差數據進行插值，驗證該方法的普遍性。

本文采用的精密鐘差數據來自AIUB(AstronomicalInstituteoftheUniversityofBern)的CODE數據中心，時間為2013年03月28日PRN3衛星的5min、30SGPS鐘差數據，利用Maltab編寫了B樣條函數插值方法的計算程序插值得到了5s間隔的數據，分別分析B樣條函數的次m、劃分長度N這兩個參數的取值方式，并與CODE提供的5s鐘差結果進行了比較，精度比較結果見圖1。

圖1 不同參數下30s和5min數據內插鐘差精度圖

由圖1可知，在選取不同參數計算鐘差的插值時，兩組數據內插的5s鐘差，其精度的變化趨勢是一致的，30s數據的精度優于5min的結果，在選用的參數范圍內，其精度均優于1ns。

為了便于分析，表1給出了B樣條插值結果與精密衛星鐘差比較的統計表，從表中可以看出，當階次采用3或4時，精度最高，可達到0.16ns的精度，這時對應的節點分劃長度則是數據長度減去階數，從結果來看，采用30s間隔的數據獲取的插值結果普遍優于5min間隔的數據。

表1 B樣條內插與精密星歷比較(單位:ns)

30s間隔 5min間隔參數階中誤差最大值 平均值 中誤差 最大值 平均值9 0.2788 0.1027 0.2237 0.3796 0.1694 0.2565 10 0.2810 0.1038 0.2983 0.3904 0.1788 0.2874 11 0.2840 0.1571 0.5610 0.4129 0.1739 0.2938 12 0.2859 0.1638 0.7649 0.4177 0.1890 0.2986

上述的分析僅是針對PRN3衛星的一天的結果進行了分析，為了驗證B樣條方法的普遍有效性，本文采用3階B樣條函數，隨機選取了2013年03月15日到2013年03月24日的衛星鐘差數據，將其內插得到了30s、5s的鐘差數據，并與相關機構提供的結果進行了比較。表2給出了內插得到的30s、5s數據的精度統計表。從表2可知，采用B樣條方法計算的結果精度穩定，均為0.16ns左右，可以滿足目前定位的需要。

表2 B樣條方法內插精度統計(單位:ns)

4 結束語

本文采用B樣條函數插值法內插了CODE提供PRN3衛星的5min，30s的精密鐘差數據，插值得到了5s間隔的鐘差數據并與其提供的結果進行了比對和分析，得出以下結論:

(1)在階數較小時，插值誤差較大，隨著參數值的增大，插值的精度得到了提高，但是隨著階數的提高，插值的精度反而不斷降低，通常選擇3或者4階即可滿足要求。

(2)通過對隨機選擇的多天數據的比較可以看出，利用B樣條函數插值法，在選取適當的參數值時，衛星鐘差的插值精度可以0.15ns，完全滿足精密單點定位、定軌坐標計算對衛星鐘差的精度需求，該插值方法在精密衛星鐘差數據插值中具有一定的應用前景。

［1］張志涌.精通MATLABR2011a［M］.北京:北京航空航天大學出版社，2011.

［2］劉大杰，陶本藻.實用測量數據處理方法［M］.北京，測繪出版社，2000，39 ～48.

［3］郭建鋒，歸慶明，楊元喜.局部重力場的非均勻B樣條最小二乘逼近［J］，測繪學報，2000，29(3)，189 ～202.