三坐標(biāo)測量中測量點(diǎn)數(shù)對精度影響的研究

□ 曹 旭 □ 李 明 □ 韋慶玥 □ 李 偉

上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動(dòng)化學(xué)院CIMS&機(jī)器人中心 上海 200072

坐標(biāo)測量技術(shù)是一種通過在測量空間中對被測工件幾何特征的離散點(diǎn)測量和被測要素的擬合獲取，并以公稱數(shù)和圖樣規(guī)范為依據(jù)，進(jìn)行誤差評定的技術(shù)。整個(gè)過程涉及到從幾何特征輪廓面離散點(diǎn)采集方法、幾何要素?cái)M合、評定基準(zhǔn)建立以及尺寸誤差和幾何公差評定等，同時(shí)還應(yīng)包括對整個(gè)過程規(guī)范制訂的方法等。

圖1描述了坐標(biāo)測量中離散點(diǎn)獲取的過程，圖中，將一個(gè)被測物體（圖示為一個(gè)虛線的圓）置于一個(gè)平面直角坐標(biāo)系（圖示為測量坐標(biāo)系）中，通過坐標(biāo)測量方法能得到被測圓上的一個(gè)點(diǎn)集P｛P1，P2，P3...Pn｝的坐標(biāo)值，然后用理想要素定義進(jìn)行圓擬合計(jì)算，得到圖示的被測幾何要素的擬合要素（圖中實(shí)線圓），以及該擬合要素的導(dǎo)出要素即被測圓的圓心。通過與公稱要素（模型）的比較得到相應(yīng)的偏差，并根據(jù)圖樣所標(biāo)注的公差進(jìn)行誤差評定。

▲圖1 幾何坐標(biāo)測量原理示意圖

▲圖2 測量中的不確定影響因素

在上面描述的坐標(biāo)測量過程中，測量的數(shù)量和分布將對測量結(jié)果產(chǎn)生相應(yīng)的影響，這也是本文主要研究的內(nèi)容。

1 測量不確定度來源分析

坐標(biāo)測量機(jī)涉及到一個(gè)龐大而復(fù)雜的技術(shù)和應(yīng)用體系，而且整個(gè)工作涉及到的環(huán)節(jié)也很多，所有這些都會對坐標(biāo)測量結(jié)果的產(chǎn)生帶來影響，對測量結(jié)果的質(zhì)量可以用測量不確定度來定量說明。

在三坐標(biāo)測量中，影響測量不確定度的因素有很多 。 “GB/T 18779.2-2004（ISO/TS 14253-2:1999） 產(chǎn)品幾何量技術(shù)規(guī)范（GPS）工件與測量設(shè)備的測量檢驗(yàn)第二部分：測量設(shè)備校準(zhǔn)和產(chǎn)品”中描述了數(shù)字計(jì)量測量過程中對測量結(jié)果不確定度的十大影響因素，其具體內(nèi)容如圖2所示。

在這些影響因素中，測量設(shè)備的參考元素、測量設(shè)備、測量設(shè)備性能與參數(shù)設(shè)置都可以按GB/T 16857（ISO 10360）系列標(biāo)準(zhǔn)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行檢定與修正，測量設(shè)備供應(yīng)商會提供相應(yīng)的補(bǔ)償方法。在一般測量工作中，環(huán)境影響、物理常數(shù)和轉(zhuǎn)換因子、測量評定軟件和計(jì)算方法等也有方法可以得到相應(yīng)的補(bǔ)償和檢定。

從圖2中可以看到，實(shí)際的測量操作過程對測量結(jié)果的影響不可忽視，包括測量人員的因素和一些不完整的或含糊的定義與測量方法等，其中就包括測點(diǎn)采集問題。

測點(diǎn)是整個(gè)坐標(biāo)測量的根本，其如何采集將直接影響到測量結(jié)果，有關(guān)測點(diǎn)策略，目前還沒有規(guī)范的方法，僅有英國BS 7172標(biāo)準(zhǔn)簡單推薦了幾何特征的坐標(biāo)測量點(diǎn)數(shù)（測點(diǎn)數(shù)下限），對實(shí)際應(yīng)用的指導(dǎo)作用并不大。

2 研究方法與過程

2.1 主參數(shù)的確定

測點(diǎn)策略包括了測點(diǎn)點(diǎn)數(shù)和分布等，其應(yīng)受到被測量要素實(shí)際狀況（誤差精度和體量）、測量系統(tǒng)精度、測量評定要求等方面的影響。考慮到坐標(biāo)測量機(jī)本身的測點(diǎn)精度較高，因此這里暫不考慮測量系統(tǒng)的測點(diǎn)誤差問題。關(guān)于點(diǎn)的分布，對于曲率變化不大的幾何要素而言，一般采用均布方式。

因此，在考慮測量點(diǎn)數(shù)時(shí)，主要將考慮測點(diǎn)數(shù)與被測要素的精度狀況、被測要素體量之間的關(guān)系問題，這也是研究中的3個(gè)主參數(shù)。

2.2 測點(diǎn)分布的確定

考慮到被測要素種類的多樣和復(fù)雜性，筆者主要先研究一些常規(guī)幾何要素的測點(diǎn)策略，并以直線為例展開相關(guān)研究。

圖3描述了在直線測量中，在某一直線精度下，對單位長度下的直線進(jìn)行均布采點(diǎn)。其中d為直線的長度，δ為被測要素自身的誤差，且探測球在距兩邊端點(diǎn)不超過直線長度10%的范圍內(nèi)均布采點(diǎn)。

2.3 測量點(diǎn)數(shù)的確定

從坐標(biāo)測量原理可知，測點(diǎn)的數(shù)量與被測要素體量和精度狀有直接的關(guān)系，為了進(jìn)一步簡化確定點(diǎn)數(shù)的方法，引入一個(gè)跳長比η的概念：

即被測要素（直線）的誤差值（這里使用圖樣上標(biāo)注的公差值代替）與被測要素長度的比值。經(jīng)過這樣的設(shè)置，在測量點(diǎn)數(shù)確定時(shí)，只要考慮測點(diǎn)與跳長比η的關(guān)系，就能使測量點(diǎn)數(shù)的確定方法適用于不同精度的被測要素。

在坐標(biāo)測量中，被測要素的獲取是通過對所采集離散點(diǎn)的擬合來完成的，擬合方法一般采用最小二乘法。因此在確定點(diǎn)數(shù)對測量精度（擬合結(jié)果精度）影響時(shí)，采用了比較的方法。設(shè)想有一條理想的直線（下面稱為樣本直線），其上面被隨機(jī)加上了誤差，誤差值不大于所標(biāo)注的公差值。同時(shí)，根據(jù)采點(diǎn)策略采用均布的方法在樣本直線上采集點(diǎn)（模擬坐標(biāo)測量采點(diǎn)），然后通過相應(yīng)的直線擬合得到被測直線，最后通過被測直線與樣本直線的差異來判斷擬合的精度，這也間接反映了測點(diǎn)數(shù)量對測量結(jié)果的影響。

一般情況下，測量精度應(yīng)不超過被測要素公差值的三分之一至十分之一，所以測點(diǎn)點(diǎn)數(shù)影響的判據(jù)就是實(shí)測數(shù)據(jù)的擬合結(jié)果與理論要素的偏離程度，即小于公差值的1/3。同時(shí)考慮到測量點(diǎn)數(shù)對測量時(shí)間的影響，引入置信度，即在相應(yīng)的置信度下，分別確定測量點(diǎn)數(shù)。在確定點(diǎn)數(shù)時(shí)，分別考慮被測要素本身的精度情況及點(diǎn)數(shù)，當(dāng)被測要素本身精度對測點(diǎn)數(shù)無影響時(shí)，測點(diǎn)數(shù)量才得到確定。

根據(jù)以上的方法描述，在測點(diǎn)數(shù)量選擇時(shí)的分析計(jì)算流程如圖4所示。

3 方法驗(yàn)證

GB/T 16857第六部分規(guī)定了檢定數(shù)字測量軟件的方法，這些軟件用于坐標(biāo)測量中的擬合要素計(jì)算和誤差評定，要素的擬合包括線（二維和三維）、面、圓（二維和三維）、球、圓柱、圓錐以及圓環(huán)等。

3.1 檢定方法的流程

檢定方法的原則是比較轉(zhuǎn)換檢測參數(shù)值和標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)值。轉(zhuǎn)換檢測參數(shù)值可由輸入標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集到送檢軟件按轉(zhuǎn)換規(guī)則得到；標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)集是模擬要素的尺寸、形狀、位置、方向和取樣的范圍而設(shè)計(jì)的。它們也被設(shè)計(jì)成模擬包括探測誤差和要素形狀誤差在內(nèi)的典型的坐標(biāo)測量機(jī)測量誤差［1］。圖5為檢定方法的流程。

▲圖3 均布采點(diǎn)示意圖

▲圖4 確定測量點(diǎn)數(shù)的流程圖

▲圖5 檢定方法的流程圖

▲圖6不同精度等級下的概率密度函數(shù)圖

3.2 驗(yàn)證確定點(diǎn)數(shù)的方法

借鑒計(jì)算擬合要素檢測的方法來驗(yàn)證確定點(diǎn)數(shù)方法的可行性。首先計(jì)算出模擬要素上點(diǎn)的坐標(biāo)，輸入三坐標(biāo)測量軟件進(jìn)行計(jì)算，得出實(shí)際幾何元素；再計(jì)算出測量偏差，也就是對應(yīng)計(jì)算擬合要素過程中的轉(zhuǎn)換檢測參數(shù)值；而對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)值的是判斷依據(jù)：測量偏差值不大于被測要素公差的三分之一；最后進(jìn)行比較，判斷測量偏差是否不大于被測要素公差的三分之一。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

下面針對直線的評定問題進(jìn)行驗(yàn)證確定點(diǎn)數(shù)方法的可行性實(shí)驗(yàn)。

4.1 方法步驟

（1）假設(shè)一條理論直線，長度為d。為了計(jì)算方便，設(shè)該直線方程為y=3。

（2）均布采點(diǎn)。第一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，最后一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為d。

（3）隨機(jī)添加各點(diǎn)誤差。在與理想直線垂直的方向上，也就是各點(diǎn)的縱坐標(biāo)，加上被測要素的誤差，即得出實(shí)際直線的方程為 y1=y+（δrand（1）- δ/2）。 其中 δ是被測要素自身的誤差值，rand（1）表示從0～1之間的任意數(shù)。

（4）最小二乘法擬合。得到實(shí)際直線，計(jì)算出實(shí)際直線和理想直線的偏差h。

（5）循環(huán)100次，此時(shí)，被測要素本身精度對測點(diǎn)數(shù)無影響，得出h的100個(gè)結(jié)果，并作概率密度函數(shù)圖。

（6）求出實(shí)際要素和理論要素的偏差值h，在不超過被測要素公差值三分之一情況下，要達(dá)到相應(yīng)置信度的點(diǎn)數(shù)。

4.2 結(jié)果與討論

▲圖7 不同精度等級下各測量點(diǎn)數(shù)的置信度及擬合曲線圖

由GB/T 1184標(biāo)準(zhǔn)，查出公差等級下對應(yīng)的長度和公差值，用MATLAB軟件擬合分析，得到不同精度等級下，循環(huán)100次測量偏差是被測要素公差值三分之一的概率密度函數(shù)圖，如圖6所示，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的乘積表示落在該范圍內(nèi)的概率。

以上圖6中的兩幅圖是在不同精度等級下，循環(huán)100次測量偏差h是被測要素公差三分之一的概率密度函數(shù)圖，同時(shí)，也可以用循環(huán)100次，各點(diǎn)數(shù)能達(dá)到的置信度及其擬合曲線圖來更直觀地表達(dá)，如圖7所示。是任意選擇兩種不同精度等級下用MATLAB運(yùn)行的結(jié)果，另外，還根據(jù)GB/T 1184中所列出的不同精度下對應(yīng)的長度、公差值用這種方法做了試驗(yàn)，結(jié)果只是在1～3點(diǎn)內(nèi)浮動(dòng)，見表1。

表1 達(dá)到置信度對應(yīng)的點(diǎn)數(shù)

5 結(jié)論

通過實(shí)例分析，得出了評價(jià)直線度誤差時(shí)不同的精度等級下，所求置信度對應(yīng)的提取點(diǎn)數(shù)，并且由數(shù)據(jù)結(jié)果可知，精度等級的不同，并不影響點(diǎn)數(shù)的選擇。同時(shí)，也可以用該方法對其它的形位誤差，如圓度誤差、圓柱度誤差、同軸度誤差等在不同精度等級下測量點(diǎn)數(shù)的研究。研究測量點(diǎn)數(shù)對精度的影響，不僅在數(shù)字化測量規(guī)范上有了進(jìn)一步的完善，而且更好地控制影響測量不確定度的因素，進(jìn)而得到更準(zhǔn)確的測量結(jié)果。

［1］ GB/T 16857.6-2006，產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范（GPS）坐標(biāo)測量機(jī)的驗(yàn)收檢測和復(fù)檢檢測（第六部分）［S］.

［2］ 趙幸福.測量不確定度評價(jià)方法在大型工件現(xiàn)場加工中的應(yīng)用［J］.組合機(jī)床與自動(dòng)化加工技術(shù)，2011（8）:68-72.

［3］ GB/T 18779.2-2004，產(chǎn)品幾何技術(shù)規(guī)范（GPS）工件與測量設(shè)備的測量檢驗(yàn)（第二部分）［S］.

［4］ 譚見聞.基于MATLAB評定直線度誤差［J］.計(jì)量與測試技術(shù)，2011,38（6）:18-19.

［5］ 黃富貴.直線度誤差評定的測量提取點(diǎn)數(shù)選擇［J］.華僑大學(xué)學(xué)報(bào)，2011,32（6）:615-617.