關于古塔變形的探討

張又才

【摘 要】1、本文研究的是自然因素對古塔的變形問題。2、首先通讀全文再依據文中所給數據表格與查找資料分析。 然后針對第一問古塔各層中心坐標求解的問題，本文通過建立以初等方法求多邊形 重心幾何模型（假設各塔層是規則的物體，把重心坐標看作于近似的中心坐標）。 在第二個散點模型中，本文對古塔的傾斜、彎曲、扭曲問題進行簡化，利用Excel 知識建立了散點趨勢模型。3、 針對模型的求解，本文使用把每層觀測點近似看在同一個平面內，然后根據求 多邊形重心的方法，計算出每層的中心坐標，并使用Excel圖表法求解出古塔傾斜、 彎曲、扭曲問題，再根據問題二中建立的1982、1996、2009、2011的角度與層數的 散點圖進行分析整合出古塔的變形趨勢。

【關鍵詞】古塔；中心；重心； 斜率； Excel

文章編號：ISSN1006—656X（2013）09 -0115-01

一、問題重述

（一） 問題背景

由于長時間承受自重、氣溫、風力等各種作用，偶然還要受地震、颶風的影響，古塔會產生各種變形，諸如傾斜、彎曲、扭曲等。為保護古塔，文物部門需適時對古塔進行觀測，了解各種變形量，以制定必要的保護措施。

某古塔已有上千年歷史，是我國重點保護文物。管理部門委托測繪公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月對該塔進行了4次觀測。

請你們根據附件1提供的4次觀測數據，討論以下問題：

問題一：給出確定古塔各層中心位置的通用方法，并列表給出各次測量的古塔各層 中心坐標。

問題二：分析該塔傾斜、彎曲、扭曲等變形情況。 問題三：分析該塔的變形趨勢。 （詳情見附件1）

二、問題分析

（一）問題一的分析

根據對問題一的條件和數據的分析，我們發現Z變量的數值波動性很小，而問題一

求的是各古塔的中心坐標，那么我們就把Z坐標的總和相加取它的平均數值，然后再根 據初等方法求多邊形的中心坐標方法對問題一進行求解。

（二）問題二的分析

根據對問題二的研究與問題一得出的數據進行分析，我們確定了以第一層的重心坐 標為基準第二層的重心坐標與第一層重心相連再依據古塔與地面垂直的情況來求出此 三角形的斜率、第三層、與第四層……以此類推求出各層的斜率，再依據斜率的數 據作出斜率與層數的散點圖形并添加了趨勢線，再依據對圖形的分析我們可以得出古塔 在自然因素下發生傾斜、彎曲、扭曲的大致情況。

（三）問題三的分析 根據問題二中散點趨勢圖對比，我們可以得出古塔在1986年至2011年發生變化的形式，再結合實際對古塔未來的變形趨勢進行預測。

三、模型假設

（一）假設給定的測量數值是精確的。

（二）假設未來的自然因素對古塔的影響與之前相比不會出現太大的偏差。

（三）假設古塔的結構穩定。

（四）假設人類的活動對古塔的影響可以忽略。

四、符號說明及名詞定義

五、模型建立與求解

（一）問題一

問題提出的是求古塔各層的重心坐標，通過查找各類參考文獻確定了用初等方法求多邊形重心坐標的方法，設有n邊形，各頂點坐標分別為，，…，。（見圖1）連接、、…、，共有個三角形，設各三角形重心分別為、、……、、……、。面積分別為、、……、，則多邊形的重心坐標可用如下公式計算：

式中： ，

根據函數公式求解出 1986、1996、2009、2011 年中心位置的坐標如下表： （如下表）

（二）問題二

根據對問題二的研究與問題一得出的數據進行分析，確定了以第一層的中心坐 標為基準第二層的在心坐標與第一層中心相連再依據古塔與地面垂直的情況來求出此 三角形的斜率、第三層、與第四層…………以此類推求出各層的斜率。再通過中心的連 線與平面的斜率計算出角度值 詳細計算過程見附表（2）

1986年角B值（度） 1996年角B值（度） 2009年角B值（度） 2011年角B值（度）

根據各個年份的斜率我們可以作出 1986、 1996、2009、 2011 年的 Excel 角度與層 數的散點趨勢圖，其中 y 軸值越接近于 90 則說明古塔的傾斜率越小，反之則說明古塔 的變化值越大。就有可能出現彎曲、扭曲等變形情況。

由上述的圖示我們可以得出以下結論： 1、 在1986年時古塔的1—6層發生的變化很小6—11層發生了彎曲11—13層發生了扭曲。

2、 在1996年古塔的1—6層未發生什么大的變化6—10層古塔發生了偏移10—13發 生了扭曲。

3、 1—2層發生了傾斜2—10層發生了彎曲，10—13層發生了與2—10層相反的彎曲。

4、 1—2層未發生什么變化2—6層發生了扭曲現象6—10層發生了小的傾斜10—13 傾斜的方向與6—10層相反。

（三）問題三

根據問題三的問題再結合問題二中的斜率趨勢圖，我們可以得出以下結論： 1、 古塔的變形隨著時間的推移越靠近頂層部分越容易發生扭曲而古塔的中間部 分就會發生一部分的彎曲，基層部分出現的變化不是很大； 2、 由2009年與2011年的圖我們可以得出古塔在較短的時間內就發生了嚴重的扭曲、彎曲、傾斜等情況，如果不加以有效的措施進行保護的話，我們可以預見隨著時間 往后推移古塔的變形、甚至有可能倒塌。

六、模型評價

（一）優點：比較清晰，一目了然，無論是對模型的表達還是之后對算法的框圖描述 都比較清晰；通過對古塔的斜率計算作出的散點圖很好的現出了1986年到2011年古塔的 變化情況。

（二）缺點：實際情況中受各種因素的限制和影響，在模型中沒有考慮到，使得預測 結果和實際相比出現一定偏差。

七、模型推廣

（一）本模型雖然曾在一些不足之處，但是計算出的結果還是較為合理的。尤其是問 題一中心的求法簡便合理，而中心在實際生活中用處非常廣泛，在工程中，物體中心的 位置具有重要意義。例如擋土墻、高速運轉部件的中心如果不在軸線上，將引起機械的 劇烈震動。

參考文獻：

[1]郭幼操，從四邊形重心到多邊形重心，浙江農村技術師專學報，1996.2

[2]梁海奎，古塔變形測量方法探討，城市勘測，2011.3

[3]姜啟源，數學模型，北京市東城區后街 55 號：高等教育出版，1993

[4]周凱、送軍全、鄔學軍，數學建模競賽入門與提高，浙江杭州市天馬山路 148 號： 浙江大學出版社，2012