最大熵擬合概率密度函數在可靠度計算中的應用

湯保新 潘永強 路培國

(1.揚州大學土木工程系，江蘇 揚州 225127;2.江蘇省建筑設計研究院，江蘇 南京 210000)

結構可靠度計算常用的方法有一次二階矩法［1］，有條件則采用高次高階矩法以提高計算精度，如二次二階矩法與二次四階矩法，這類方法需要計算功能函數的偏導數，計算采用迭代法，計算結果為可靠指標，不是直接的失效概率，而且隨著功能函數的非線性程度的增大，計算精度有所減小。結構可靠度的計算也采用蒙特卡羅法，計算量大，一般用于各種可靠度近似方法的校核。當極限狀態函數有顯式表達式而且隨機變量不多的簡單情況，亦可采用數值積分法，但當失效區域是一般不規則或是多連通或不連通的獨立區域時，數值積分法亦有一定困難。如果可以求得極限狀態函數的前幾階矩(一般為四階矩或五階矩)，則可采用擬合概率密度函數方法近似計算失效概率。擬合的函數有最大熵密度函數［2］和多項式密度函數［3］，前者物理意義明顯，計算較復雜，后者沒有直接的物理背景，計算較簡單。

本文對極限狀態函數求得前幾階矩，再用最大熵法擬合其概率密度函數，近似計算失效概率。

1 近似計算失效概率的步驟

1.1 極限狀態函數的前幾階矩

已知極限狀態函數為Z=g(X)=g(x1，x2，…，xn)，隨機向量X的概率密度函數為f(X)，則Z的各階原點矩為:

式(1)可通過數值積分求得。f(X)可視為權函數，采用高斯積分法，計算效率和精度較高。如正態分布、指數分布、均勻分布，相應的權函數為 e－x2，e－x，1，可分別選高斯·埃爾米特(Gauss-Hermite)、高斯·拉蓋爾(Gauss-Laguerre)、高斯·勒讓德(Gauss-Legendre)積分點。

顯然，這里規定m0=1是合理的。

1.2 用概率分布函數的多項式逼近極限狀態函數

根據最大熵原理，極限狀態函數的概率密度函數為:

式(2)中a0，a1，…，aN為待定系數;N為矩的最大階數，一般取4～5階矩即能獲得良好的效果［2］。

這里，z的各階原點矩也可采用積分形式表示為:

式(3)中待定系數有N+1個，方程有N+1個。

式(3)為非線性方程組，可轉化為無約束優化問題，采用優化算法求解:

式(4)中ωk為加權系數，為使式(4)各項的量綱一致，可取ωk=。

優化算法的初始點可按正態分布給出，即:

解出待定系數，就可以得到概率密度函數。

1.3 計算失效概率

對式(2)積分得到極限狀態函數的失效概率:

注意，實際問題的解應與用中心點法計算的可靠指標的近似值 β≈μz/σz，按正態分布換算的失效概率 Φ－1(－ μz/σz)相差不會很大。

2 簡單算例

例1:已知非線性極限狀態方程g=567fr+0.5H2=0。f服從正態分布，μf=0.6，δf=0.131;r服從正態分布，μr=2.18，δr=0.03;H服從對數正態分布，μH=32.8，δH=0.03。試求失效概率［1］。

1)用數值積分求極限狀態函數的前4階原點矩:

2)經計算，待定系數初始值為:

用優化算法求出待定系數:

3)求失效概率。這里的積分下界限取為μz－5σz=－320.870 9。失效概率Pf=0.025 951(換算為可靠指標β=1.944 0)。

作為對比，采用4階原點矩計算的結果見表1。

例2:已知極限狀態方程 g=1.8 － x1－ x2=0，其中，x1，x2∈［0，1］，其聯合概率密度函數為 f(x1，x2)=2－x1－x2。試求失效概率［1］。

計算方法同例1，結果列于表1中。

表1 計算結果匯總表

3 結語

本文采用數值積分求得極限狀態函數的前幾階矩，擬合極限狀態函數的概率密度，求解失效概率。計算表明:1)采用四階矩與五階矩的計算結果相差不大，所以實用中可以采用四階矩。2)數值積分的界限一般取為μ±5σ，即可滿足工程精度要求。3)與多項式擬合法相比，計算精度變化較小，數值較穩定，所以適用性較好。

［1］趙國藩，金偉良，貢金鑫.結構可靠度理論［M］.北京:中國建筑工業出版社，2000.

［2］章 光，朱維申，白世偉.計算近似失效概率的最大熵密度函數法［J］.巖石力學與工程學報，1995(8):18-19.

［3］鄧 建，李夕兵，古德生.結構可靠性分析的多項式數值逼近法［J］.計算力學學報，2002(11):26-30.

［4］李慶揚，王能超，李大義.數值分析［M］.武漢:華中工學院出版社，1982.

［5］王淑云，方保镕，王如云.數值分析方法［M］.南京:河海大學出版社，1996.