積分法解決公路平面數據的精度分析

張立艷

(成都農業科技職業學院建筑園林分院，四川成都 611130)

0 引言

公路平面數據庫是利用先進的測量儀器和設備，去實現過去無法達到的精度和速度，那么就需要我們優化放樣測量的方法和操作步驟。通過對曲線元的曲率特性進行分析研究表明，三者都具有統一的數學模型，并且切線方位角的變化是曲率沿線路的積分，用積分可以將其轉換成可以實現的統一數學公式，省去傳統的繁瑣計算公式以及復雜的計算程序，滿足動態控制系統和公路測量平面數據庫的思想和要求。本文就是利用積分的方法就公路測量平面數據庫方面進行一些探討。

1 傳統法平面數據庫的精度分析及計算示例

傳統法在計算公路平面數據時，應用的公式都相當復雜。我們知道圓曲線和直線都有自己的嚴密計算公式，但是緩和曲線就只有近似計算公式，將原始計算公式代入并用級數展開，對其進行定積分就成為普通測量教學實用公式，一般的實際計算中，采用此式，并且只取其前兩項:

下面我們對上式進行精度分析。

假如我們只取前兩項，我運用重慶市南山立交的設計資料對公式進行分析:

對于A匝道來說，起始端是一不完整緩和曲線(R1=193;R2=42.5)，我們利用不完整緩和曲線恢復程序，對其進行恢復，可以得到已知數據:R=42.5;Ls=93.388，將已知數據代入上式，并取Li進行計算(見表1)。

表1 傳統公式取前兩項坐標計算

現在，當我們取三項再進行同樣的計算，可得到表2結果。

表2 傳統法公式取前三項的坐標計算

此公式計算的誤差如表3所示。

表3 傳統公式取兩項與三項的計算差值

可見隨著里程Li的逐漸增加，公式的第三項就開始出現誤差，并呈現遞增趨勢，而中誤差竟然達到17.4 mm之多。雖然其總體相對誤差為1/4 000，似乎已經達到要求，但局部相對誤差最大可達1/200，這顯然是一個無法接受的數據。而且從以上數據可以明顯看出，緩和曲線上任意點到緩和曲線起點的距離較小時，此公式計算精度較高，當里程較大時就會出現4倍/10 m的增長勢頭，在不到100 m的曲線段上就能夠產生近±5 cm的誤差。從上面的一些數據不難看出，在以前的計算方法中，公式取項應足夠多。

2 積分法平面數據庫的精度分析及計算示例

積分的主要優勢是數學模型的統一，這為公路線形的設計和計算帶來了很大方便。其數學模型是根據對曲線元的曲率變化和曲線元上任一點切線方位角的分析、總結，在通過構造數值積分(一種被積函數在有限個點上函數值推算積分近似值的有效方法)通式的基礎上推導出來的，可用隱函數表示為:

此公式是可積的，還可以用復合辛普森公式表示。

為了求出函數的余項，我們可將上式也表示成如下隱函數的形式:

此函數的余項為:

經反復試算，當m=6時，一般長度的曲線計算精度都可達到±1 mm。當計算長度確實很大的時候，可適當的將m的取值增大，這比傳統法的計算精度要高得多。

3 積分法、傳統法相對設計資料的精度估算

現在我們就利用重慶市南山立交橋AA匝道的設計資料，先后用積分法建立的公路工程平面數據庫和傳統法建立的公路工程平面數據庫進行詳細的對比，然后對計算結果同設計資料進行對比，并進行精度估計。

3.1 已知數據輸入比較

1)AA匝道線路見圖1。

2)已知數據輸入見表4。

表4 積分法和傳統法對AA匝道已知數據輸入比較

圖1 AA匝道線路圖

從以上數據進行對比看來，積分法在輸入已知數據時少且精簡。尤其是對于工程用的可編程計算器CASIO fx-4800來說，減少了數據對內存的占用，為其他工程建庫提供更多資源。對于曲線的左右偏問題，不再是用轉角的正負來控制，而是用曲線長度±Ls進行控制，從此，減少了對曲線轉角的輸入。從以上資料可以發現，在曲線的起點數據上，兩種方法輸入的數值不同。傳統法是對不完整緩和曲線進行恢復后的數據，并且恢復后的JD1坐標應該為:X1=68 217.736，Y1=66 802.725，而上面數據為:X1=68 217.751，Y1=66 802.719，傳統法數據庫里面，必須對這個數據進行改動，否則計算數值跟設計資料不相符，這也是傳統法的一個很大的缺點。而利用積分法建庫時，就無須修改任何數據，直接按照設計資料對應輸入即可。

3.2 在計算逐樁坐標上與設計資料的比較

表5 AA匝道部分樁坐標表比較

由表5表明，傳統法數據庫計算的數據中誤差是積分法數據庫的3倍。

4 結語

積分法建立的平面數據庫的優勢明顯強過傳統數據庫，尤其適合野外作業，因為，當前科技的發展，使得積分不再是一件難事，用CASIO計算器即可解決。所以，為了發揚積分法建庫，我們必須將數據庫程序移植到可編程計算器上。現在我可以用VB程序解決積分法平面數據庫建立問題，又可以用CASIO fx-4800可編程計算器解決傳統和積分兩種方法的平面數據庫建立問題。

［1］李青岳.工程測量學［M］.北京:測繪出版社，2003.

［2］李松青，張維全，周亦唐.道路勘測設計［M］.第2版.重慶:重慶大學出版社，1995.

［3］陳學東，常 丹.Visual Basic 6.0程序設計教程［M］.北京:清華大學出版社，2005.

［4］劉培文.道路幾何設計［M］.北京:中國科學技術出版社，2003.

［5］李全信.確定地面點與線路中線相對位置關系的統一數學模型［J］.測繪通報，2002(8):28-30.

［6］曹智翔，周祖淵.一種直線放樣道路邊線的方法［J］.四川測繪，1997(4):15-16.

［7］宋 文.公路施工測量［M］.北京:人民交通出版社，2001.

［8］朱照宏.公路計算機輔助工程［M］.北京:人民交通出版社，2000.

［9］武漢測繪科技大學測量平差教研室.測量平差基礎［M］.第3版.北京:北京測繪出版社，1996.

［10］李孟山，李少元.計算公路匝道點位坐標的復化辛普森公式［J］.測繪通報，2002(1):19-21.

［11］李立法.數值計算方法［M］.北京:高等教育出版社，1996.