關(guān)于離散型隨機變量的分布列問題

劉穎

求離散型隨機變量的分布列必須解決好兩個問題，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一個值時的概率。求一些離散型隨機變量的分布列，在某種程度上就是正確地求出相應(yīng)的事件個數(shù)，即相應(yīng)的排列組合數(shù)，所以學(xué)好排列組合是學(xué)好分布列的基礎(chǔ)與前提.離散型隨機變量分布列求解是進一步求解數(shù)學(xué)期望、方差最關(guān)鍵的開始，分布列求解錯誤，必然導(dǎo)致數(shù)學(xué)期望與方差的錯誤，故這里萬萬不可忽視，就這個問題提出幾個建議如下：

一、正確認識離散型隨機變量

所謂隨機變量，實際上是用變量對試驗結(jié)果進行的一種刻畫，是試驗結(jié)果和實數(shù)之間的一個對應(yīng)關(guān)系。這與函數(shù)概念本質(zhì)上是相同的，只不過在函數(shù)概念中，函數(shù)f（x）的自變量是實數(shù)x，而在隨機變量的概念中，隨機變量的自變量是試驗結(jié)果。離散型隨機變量的分布列的性質(zhì)是概念的外延，而離散型隨機變量的概率分布列的內(nèi)涵是一個必然事件分解成有限個互斥事件的概率的另一種表示形式，更主要的是應(yīng)在概念的生成中形成解決問題的思維方法。

二、求離散型隨機變量分布列的步驟

（1）明確隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；

（2）利用概率的有關(guān)知識，求出隨機變量每個取值的概率；

（3） 按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的兩條性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確.

例1、一個口袋有5個同樣大小的球，編號為1、2、3、4、5，從中同時取出3個，以ξ表示取出球最小的號碼，求ξ的分布列.

[解析] 因為同時取出3個球，ξ表示取出球的最小號碼，所以ξ的取值為1，2，3.

當(dāng)ξ=1時，其他兩球可在余下的4個球中任意選取，因此其概率

為=；當(dāng)ξ=2時，其他兩球的編號在3、4、5中選取，因此其

概率為=；當(dāng)ξ=3時，其只可能為3，4，5一種情況，其概率為。

評注：處理有關(guān)離散型隨機變量的應(yīng)用問題，關(guān)鍵在于根據(jù)實際問題確定恰當(dāng)?shù)碾S機變量，明確隨機變量所代表的量。

三、對離散型隨機變量的分布列特性的認識

（1）離散型隨機變量的概率分布的兩個本質(zhì)特征，是確定分布列中參數(shù)值的依據(jù)。

（2）離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和。

（3）處理有關(guān)離散型隨機變量的應(yīng)用問題應(yīng)仔細審題，透徹理解題意，并注意根據(jù)實際問題確定恰當(dāng)?shù)碾S機變量。

（4）求一些離散型隨機變量的分布列，在某種程度上就是正確地求出相應(yīng)的事件個數(shù)，即相應(yīng)的排列組合數(shù)，所以學(xué)好排列組合是學(xué)好分布列的基礎(chǔ)與前提。

例2.將3個小球任意地放入4個大的玻璃杯中去，杯子中球的最大個數(shù)記為ξ，求ξ的分布列。

[解析] 明確題意，搞清杯子中球的最大個數(shù)的可能值，再由此求出相應(yīng)的概率.

依題意可知，杯子中球的最大個數(shù)ξ的所有可能值為1，2，3。當(dāng)ξ=1時，對應(yīng)于4個杯子中恰有三個杯子各放一球的情形；當(dāng)ξ=2時，對應(yīng)于4個杯子中恰有一個杯子放兩球的情形；當(dāng)ξ=3時，對應(yīng)于4個杯子中恰有一個杯子放三個球的情形。

評注：（1）隨機變量本質(zhì)上講就是隨機過程每一個可能發(fā)生的基本結(jié)果，這個要十分注意；

（2）驗證的過程最好不要缺少，因為它涉及正確求解數(shù)學(xué)期望和方差，要確保分布列的準(zhǔn)確。

四、特殊分布

二項分布、幾何分布是兩種常見分布，應(yīng)熟悉其試驗特征及題型特征，并掌握其分布列計算公式.此外兩點分布、超幾何分布列也是特殊的分布，要熟練掌握。

五、值得注意的地方

在教學(xué)過程中要充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位。在課堂上，無論是新教師還是老教師，通常會把自己當(dāng)做課堂上的主人而過多的會忽略學(xué)生的主體地位；或者學(xué)生會因為長時間的習(xí)慣于聽老師來講解而忘記自己是課堂的主人。在建立新知的過程中，教師力求引導(dǎo)、啟發(fā)，讓學(xué)生逐步應(yīng)用所學(xué)的知識來分析問題、解決問題，以形成比較系統(tǒng)和完整的知識結(jié)構(gòu)。每個問題在設(shè)計時，充分考慮了學(xué)生的具體情況，力爭提問準(zhǔn)確到位，便于學(xué)生思考和回答。使思考和提問持續(xù)在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，學(xué)生的思考有價值，對知識的理解和掌握在不斷的思考和討論中完善和加深。但由于時間的把握，以及對學(xué)生的放手程度上‘實施落實的可能還不到位，有待改進。

總之，在今后的教學(xué)工作中，需不斷總結(jié)、反思。作為數(shù)學(xué)教師，一方面要激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生感覺到每解決一個數(shù)學(xué)問題，就有一種成就感；另一方面，更重要的是教師本人要不斷提高自己的專業(yè)水平。在總結(jié)、反思中不斷提升自己的教學(xué)水平，做一名真正合格的人民教師。