太陽帆懸浮軌道的動(dòng)力學(xué)特性分析

陳翠紅, 和興鎖, 宋明

(西北工業(yè)大學(xué) 工程力學(xué)系, 陜西 西安 710129)

2012-06-04;

2012-09-17; < class="emphasis_bold">網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間

時(shí)間:2012-12-11 12:16

國家自然科學(xué)基金資助(10672133)

陳翠紅(1985-),女，湖北云夢(mèng)人，碩士研究生，研究方向?yàn)楹教炱鲃?dòng)力學(xué)與控制。

太陽帆懸浮軌道的動(dòng)力學(xué)特性分析

陳翠紅, 和興鎖, 宋明

(西北工業(yè)大學(xué) 工程力學(xué)系, 陜西 西安 710129)

研究了太陽帆懸浮軌道的動(dòng)力學(xué)特性,主要分析了穩(wěn)定性條件。首先建立垂直于太陽-行星連線的懸浮軌道模型,在柱坐標(biāo)系下,依據(jù)Hamilton原理得到懸浮軌道角動(dòng)量與太陽光壓的關(guān)系。然后,針對(duì)小擾動(dòng)情況運(yùn)動(dòng)方程,分析懸浮軌道線性與非線性穩(wěn)定性條件。最后,運(yùn)用Hamilton-Jacobi理論進(jìn)行變量分離,得到物理意義明顯的動(dòng)力學(xué)方程。仿真結(jié)果表明,選取合適的初始值,可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的太陽帆懸浮軌道。

太陽帆; 懸浮軌道; 穩(wěn)定性; Hamilton原理

0 引言

太陽帆本質(zhì)上是連續(xù)小推力推進(jìn)方式,可形成許多獨(dú)特的非開普勒軌道, 如日心懸浮軌道、行星懸浮軌道、人工拉格朗日點(diǎn)軌道等[1]。NASA,ESA等航天機(jī)構(gòu)早在20世紀(jì)70年代就開始進(jìn)行相關(guān)研究,但限于幾項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)未突破,大型太陽帆飛行任務(wù)尚未得以成功實(shí)施。隨著太陽帆技術(shù)的快速發(fā)展,人們更多地關(guān)注小型太陽帆[2]。小型太陽帆與大型太陽帆本質(zhì)上無區(qū)別,但更易工程實(shí)現(xiàn)。日美兩國已在2010年先后成功實(shí)施各自的小型太陽帆空間飛行試驗(yàn)。

在太陽帆懸浮軌道穩(wěn)定性領(lǐng)域,文獻(xiàn)[3-5]對(duì)日心懸浮軌道、行星懸浮軌道和拉格朗日點(diǎn)上的太陽帆編隊(duì)穩(wěn)定性進(jìn)行了研究,取得了較好的結(jié)果。基于以上研究,本文采用Hamilton動(dòng)力學(xué)方程和Hamilton-Jacobi理論對(duì)太陽帆懸浮軌道的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析。

1 垂直太陽-行星連線的行星懸浮軌道

太陽帆位于非開普勒軌道,忽略地球引力位函數(shù)高階項(xiàng)和其他星體引力攝動(dòng)。懸浮軌道垂直于太陽-行星連線,太陽光壓力假設(shè)為常量,行星懸浮軌道如圖1所示。

使用歸一化單位(太陽帆的質(zhì)量為單位質(zhì)量m,地球繞太陽的公轉(zhuǎn)角速度為單位角速度ω,地球到太陽的距離為單位長度L),太陽帆的軌道動(dòng)力學(xué)方程在慣性坐標(biāo)系下用柱坐標(biāo)(ρ,θ,z)可表示為[6]:

(1)

h=ωρ2=ω0ρ02

圖1 行星懸浮軌道示意圖

2 Hamilton運(yùn)動(dòng)方程

太陽帆的在軌運(yùn)行,除大氣耗散因素影響外,對(duì)應(yīng)的是Hamilton系統(tǒng),還可以用Hamilton力學(xué)中的變換方法來建立相應(yīng)運(yùn)動(dòng)方程。觀察式(1),動(dòng)力學(xué)方程可以表示為:

(2)

根據(jù)Hamilton正則運(yùn)動(dòng)方程:

1+ρ6κ2/h4=(1/3)κρ2

(3)

由式(3)求得:

當(dāng)h>hmax時(shí),系統(tǒng)不平衡,不能產(chǎn)生懸浮軌道;當(dāng)h

圖2 平衡位置圖

3 懸浮軌道動(dòng)力學(xué)特性分析

3.1 線性穩(wěn)定條件

假設(shè)fρ=h2/ρ3-ρ/r3,fz=-z/r3+κ;增加一小擾動(dòng)ρ=ρ0+δρ,z=z0+δz泰勒展開,得到線性方程為:

(4)

忽略高階項(xiàng),其中A11,A12,A21,A22表示偏導(dǎo)?fρ/?ρ,?fρ/?z,?fz/?ρ,?fz/?z。懸浮軌道各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)分別為:

(5)

擾動(dòng)用向量δQ表示,δQ=[δρ,δz]T,方程(4)的矩陣形式為:

(6)

常系數(shù)方程可以假設(shè)|δQ|=Q0exp(λt),λ為常系數(shù)。帶入方程(6),特征多項(xiàng)式為:

(7)

圖3 線性穩(wěn)定懸浮軌道

圖4 線性不穩(wěn)定懸浮軌道

3.2 非線性穩(wěn)定條件

U(ρ,z)=h2/2ρ2-1/r-κz

(8)

若定義Uρρ,Uzz,Uρz分別為對(duì)函數(shù)U(ρ,z)的二階偏導(dǎo)和二階混合偏導(dǎo),則當(dāng)Uρρ>0,Uzz>0,UρρUzz-Uρz>0時(shí)，勢(shì)能函數(shù)的局部極小值對(duì)應(yīng)穩(wěn)定的懸浮軌道。

(9)

非線性穩(wěn)定和不穩(wěn)定懸浮軌道如圖5和圖6所示。

圖5 非線性穩(wěn)定懸浮軌道

圖6 非線性不穩(wěn)定懸浮軌道

2/(ξ2+η2)-κ(ξ2-η2)/2

(10)

其中:

Hamilton主函數(shù)設(shè)為S(ξ,η,t)=-Et+pθθ+S(ξ)+S(η)。寫Hamilton-Jacobi方程為:

(11)

分離變量,則有:

(12)

β為任意常數(shù)[8]。于是,給定一系列的初始值,E,pθ,β可以計(jì)算,令pξ,pη為零,解方程(12),得到ξ,η的值。

(13)

圖7和圖8為穩(wěn)定和不穩(wěn)定軌道區(qū)域圖。

圖7 穩(wěn)定軌道區(qū)域圖

圖8 不穩(wěn)定軌道區(qū)域圖

運(yùn)用Hamilton-Jacobi理論分析太陽帆懸浮軌道的軌道系數(shù),在拋物線坐標(biāo)系下,β約為0.225時(shí)軌道系數(shù)ξ,η可以趨近于零(此時(shí)κ=1.054 5×10-4);軌道系數(shù)ξ,η在β為另一數(shù)值時(shí)是發(fā)散的(此時(shí)κ=2.348 0×10-4),趨于無窮。

4 結(jié)束語

本文研究太陽帆的動(dòng)力學(xué)特性,通過重點(diǎn)分析垂直于太陽行星連線的行星懸浮軌道,利用Hamilton方程和Hamilton-Jacobi理論分析太陽帆懸浮軌道的穩(wěn)定性,實(shí)現(xiàn)線性和非線性穩(wěn)定性條件。由Hamilton-Jacobi理論分析得到物理意義明顯的動(dòng)力學(xué)方程,可以實(shí)現(xiàn)太陽帆行星懸浮軌道穩(wěn)定,為該領(lǐng)域的進(jìn)一步研究提供了依據(jù)。

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[8] Landau L D, Lifschitz E M. Mechanics-course of theoretical physics[R]. Oxford: Pergamon,1976.

Analyzingdynamiccharacteristicsofthedisplacedorbitaboveaplanetwithsolarsail

CHEN Cui-hong, HE Xing-suo, SONG Ming

(Department of Engineering Mechanics, NWPU, Xi’an 710129, China)

This article studies kinetic characteristic of solar sail displaced orbit and analyses stability conditions. Firstly, by establishing displaced orbit model which is normal to sun-planet and assuming solar radiation pressure as constant, the relationship between displaced orbit angular momentum and solar radiation pressure can be derived through Hamilton dynamics method. Considering small perturbations of motion equation, the stability condition of linear and nonlinear displaced orbit can be derived. Finally, using Hamilton-Jacobi theory, the kinetic equation with significance physical meaning can be derived by variable separation. Simulation results show that stable solar sail displaced orbit can be realized by choosing proper initial value.

solar sail; displaced orbit; stability; Hamilton principle

V412.41

A

1002-0853(2013)01-0065-04

(編輯：方春玲)